Номер 12.11, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

12.11 а) $y = (x + 2)^4;$

б) $y = -(x - 1)^5;$

в) $y = x^6 + 1;$

г) $y = -x^7 - 1.$

а) Построение графика функции $y = (x + 2)^4$.

1. Начнем с построения графика базовой функции $y = x^4$. Это степенная функция с четным показателем. Ее график — кривая, похожая на параболу $y=x^2$, но более плоская у вершины и круче поднимающаяся при $|x| > 1$. График симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$) и проходит через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$. Вершина графика находится в точке $(0, 0)$.
2. График функции $y = (x + 2)^4$ получается из графика функции $y = x^4$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси абсцисс (оси $Ox$).
3. Поскольку к аргументу $x$ прибавляется 2, сдвиг происходит на 2 единицы влево.
4. Таким образом, каждая точка графика $y = x^4$ с координатами $(x_0, y_0)$ переходит в точку с координатами $(x_0 - 2, y_0)$. Например, вершина из точки $(0, 0)$ перемещается в точку $(-2, 0)$. Точка $(1, 1)$ перемещается в точку $(-1, 1)$, а точка $(-1, 1)$ — в точку $(-3, 1)$.

Ответ: График функции $y = (x + 2)^4$ — это график функции $y = x^4$, сдвинутый на 2 единицы влево вдоль оси $Ox$.

б) Построение графика функции $y = -(x - 1)^5$.

1. Начнем с построения графика базовой функции $y = x^5$. Это степенная функция с нечетным показателем. Ее график — кривая, похожая на кубическую параболу $y=x^3$. График симметричен относительно начала координат и проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$.
2. Для построения графика $y = -(x - 1)^5$ выполним два преобразования:
а) Сначала построим график функции $y = (x - 1)^5$. Он получается из графика $y = x^5$ сдвигом на 1 единицу вправо вдоль оси $Ox$. Центр симметрии графика переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(1, 0)$.
б) Затем построим график функции $y = -(x - 1)^5$. Он получается из графика $y = (x - 1)^5$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси $Ox$).
3. При отражении точка $(1, 0)$ останется на месте. Точка $(2, 1)$ на графике $y=(x-1)^5$ перейдет в точку $(2, -1)$. Точка $(0, -1)$ перейдет в точку $(0, 1)$. В результате получится убывающая на всей области определения функция.

Ответ: График функции $y = -(x - 1)^5$ получается из графика $y = x^5$ сдвигом на 1 единицу вправо вдоль оси $Ox$ и последующим симметричным отражением относительно оси $Ox$.

в) Построение графика функции $y = x^6 + 1$.

1. Начнем с построения графика базовой функции $y = x^6$. Это степенная функция с четным показателем, ее график похож на график $y=x^4$, но еще более плоский у вершины $(0,0)$ и еще более крутой при $|x|>1$. График симметричен относительно оси $Oy$ и проходит через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$.
2. График функции $y = x^6 + 1$ получается из графика функции $y = x^6$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси ординат (оси $Oy$).
3. Поскольку к значению функции прибавляется 1, сдвиг происходит на 1 единицу вверх.
4. Таким образом, каждая точка графика $y = x^6$ с координатами $(x_0, y_0)$ переходит в точку с координатами $(x_0, y_0 + 1)$. Например, вершина из точки $(0, 0)$ перемещается в точку $(0, 1)$. Точка $(1, 1)$ перемещается в точку $(1, 2)$, а точка $(-1, 1)$ — в точку $(-1, 2)$.

Ответ: График функции $y = x^6 + 1$ — это график функции $y = x^6$, сдвинутый на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$.

г) Построение графика функции $y = -x^7 - 1$.

1. Начнем с построения графика базовой функции $y = x^7$. Это степенная функция с нечетным показателем. Ее график похож на график $y=x^5$, но еще более плоский у начала координат и круче при $|x|>1$. График симметричен относительно начала координат и проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$.
2. Для построения графика $y = -x^7 - 1$ выполним два преобразования:
а) Сначала построим график функции $y = -x^7$. Он получается из графика $y = x^7$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси $Ox$). График $y=x^7$ был возрастающим, а график $y=-x^7$ будет убывающим. Он будет проходить через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, -1)$.
б) Затем построим график функции $y = -x^7 - 1$. Он получается из графика $y = -x^7$ сдвигом на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$.
3. При сдвиге центр симметрии из точки $(0, 0)$ переместится в точку $(0, -1)$. Точка $(1, -1)$ на графике $y=-x^7$ перейдет в точку $(1, -2)$. Точка $(-1, 1)$ перейдет в точку $(-1, 0)$.

Ответ: График функции $y = -x^7 - 1$ получается из графика $y = x^7$ путем симметричного отражения относительно оси $Ox$ и последующего сдвига на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$.