Номер 12.15, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

12.15 Найдите точки пересечения графиков функций:

а) $y = x^4$ и $y = \frac{1}{x}$;

б) $y = x^5$ и $y = -1$;

в) $y = x^6$ и $y = -2x^2$;

г) $y = x^7$ и $y = \sqrt{x}$.

а) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^4$ и $y = \frac{1}{x}$, необходимо приравнять их правые части. Получим уравнение:$x^4 = \frac{1}{x}$.Область допустимых значений этого уравнения определяется функцией $y = \frac{1}{x}$, поэтому $x \neq 0$.Умножим обе части уравнения на $x$ (так как $x \neq 0$):$x^4 \cdot x = 1$$x^5 = 1$Единственным действительным решением этого уравнения является $x = 1$.Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=1$ в любое из исходных уравнений, например, в первое:$y = 1^4 = 1$.Таким образом, графики функций пересекаются в одной точке.
Ответ: $(1, 1)$.

б) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^5$ и $y = -1$, приравняем их правые части:$x^5 = -1$.Чтобы найти $x$, извлечем корень пятой степени из обеих частей уравнения:$x = \sqrt[5]{-1}$$x = -1$.Значение $y$ уже известно из второго уравнения: $y = -1$.Таким образом, графики функций пересекаются в одной точке.
Ответ: $(-1, -1)$.

в) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^6$ и $y = -2x^2$, приравняем их правые части:$x^6 = -2x^2$.Перенесем все члены в левую часть уравнения:$x^6 + 2x^2 = 0$.Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:$x^2(x^4 + 2) = 0$.Это уравнение имеет решение, если один из множителей равен нулю:1) $x^2 = 0 \implies x = 0$.2) $x^4 + 2 = 0 \implies x^4 = -2$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как четная степень действительного числа не может быть отрицательной ($x^4 \ge 0$).Следовательно, существует только одно решение $x=0$.Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=0$ в любое из уравнений:$y = 0^6 = 0$.Таким образом, графики функций пересекаются в одной точке.
Ответ: $(0, 0)$.

г) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^7$ и $y = \sqrt{x}$, приравняем их правые части:$x^7 = \sqrt{x}$.Область допустимых значений для функции $y = \sqrt{x}$ — это $x \ge 0$.Чтобы решить уравнение, возведем обе его части в квадрат:$(x^7)^2 = (\sqrt{x})^2$$x^{14} = x$.Перенесем $x$ в левую часть:$x^{14} - x = 0$.Вынесем общий множитель $x$ за скобки:$x(x^{13} - 1) = 0$.Это уравнение имеет решения, если один из множителей равен нулю:1) $x = 0$.2) $x^{13} - 1 = 0 \implies x^{13} = 1 \implies x = 1$.Оба найденных значения $x$ принадлежат области допустимых значений ($x \ge 0$).Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$:
При $x=0$, $y = \sqrt{0} = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.
При $x=1$, $y = \sqrt{1} = 1$. Точка пересечения — $(1, 1)$.
Таким образом, графики функций имеют две точки пересечения.
Ответ: $(0, 0)$, $(1, 1)$.