Номер 12.18, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

12.18 Решите графически неравенство:

а) $x^3 < 1;$

б) $x^3 > x;$

в) $x^3 > -8;$

г) $x^3 \le x.$

а) Для графического решения неравенства $x^3 < 1$ построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ (кубическая парабола) и $y = 1$ (горизонтальная прямая). Точка их пересечения находится из уравнения $x^3 = 1$, откуда $x = 1$. Неравенство выполняется для тех значений $x$, при которых график функции $y = x^3$ лежит ниже прямой $y = 1$. Глядя на график, мы видим, что это происходит для всех $x$ левее точки пересечения.
Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

б) Для графического решения неравенства $x^3 > x$ построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ (кубическая парабола) и $y = x$ (прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов). Найдем точки их пересечения, решив уравнение $x^3 = x$, или $x^3 - x = 0$, что равносильно $x(x-1)(x+1) = 0$. Абсциссы точек пересечения: $x = -1$, $x = 0$ и $x = 1$. Неравенство выполняется для тех значений $x$, при которых график функции $y = x^3$ расположен выше графика функции $y = x$. По графикам видно, что это происходит на интервалах от -1 до 0 и при значениях больше 1.
Ответ: $x \in (-1; 0) \cup (1; +\infty)$.

в) Для графического решения неравенства $x^3 > -8$ построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ (кубическая парабола) и $y = -8$ (горизонтальная прямая). Точка их пересечения находится из уравнения $x^3 = -8$, откуда $x = -2$. Неравенство выполняется для тех значений $x$, при которых график функции $y = x^3$ лежит выше прямой $y = -8$. Так как функция $y = x^3$ является возрастающей, это условие выполняется для всех $x$ правее точки их пересечения.
Ответ: $x \in (-2; +\infty)$.

г) Для графического решения неравенства $x^3 \le x$ используем те же графики, что и в пункте б): $y = x^3$ и $y = x$. Точки их пересечения имеют абсциссы $x = -1$, $x = 0$ и $x = 1$. Неравенство выполняется для тех значений $x$, при которых график функции $y = x^3$ расположен ниже или совпадает с графиком функции $y = x$. Анализируя графики, видим, что это происходит при $x$ от минус бесконечности до -1 включительно, а также на отрезке от 0 до 1 включительно.
Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [0; 1]$.