Номер 12.5, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

12.5 Не выполняя построения графика, найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

а) $y = x^3 - 3$, $x \in [-1; 2];$

б) $y = -(x + 4)^3$, $x \in [-4; 10];$

в) $y = (x - 2)^3 + 5$, $x \in [-1; 2];$

г) $y = -(x - 3)^3 - 1$, $x \in [-4; 8].$

а) $y = x^3 - 3, x \in [-1; 2]$

Функция вида $y = k(x-a)^3+b$ является монотонной. В данном случае функция $y = x^3 - 3$ имеет коэффициент $k=1$, который является положительным, следовательно, функция монотонно возрастает на всей области определения. На заданном отрезке $[-1; 2]$ монотонно возрастающая функция принимает свое наименьшее значение на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Наименьшее значение функции при $x=-1$:
$y_{наим} = (-1)^3 - 3 = -1 - 3 = -4$.

Наибольшее значение функции при $x=2$:
$y_{наиб} = 2^3 - 3 = 8 - 3 = 5$.

Ответ: наименьшее значение -4, наибольшее значение 5.

б) $y = -(x + 4)^3, x \in [-4; 10]$

В данной функции $y = -(x + 4)^3$ коэффициент $k=-1$, который является отрицательным, следовательно, функция монотонно убывает. На заданном отрезке $[-4; 10]$ монотонно убывающая функция принимает свое наибольшее значение на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Наибольшее значение функции при $x=-4$:
$y_{наиб} = -(-4 + 4)^3 = -(0)^3 = 0$.

Наименьшее значение функции при $x=10$:
$y_{наим} = -(10 + 4)^3 = -(14)^3 = -2744$.

Ответ: наименьшее значение -2744, наибольшее значение 0.

в) $y = (x - 2)^3 + 5, x \in [-1; 2]$

В данной функции $y = (x - 2)^3 + 5$ коэффициент $k=1$ (положительный), следовательно, функция является монотонно возрастающей. На отрезке $[-1; 2]$ наименьшее значение достигается в левой границе, а наибольшее — в правой.

Наименьшее значение функции при $x=-1$:
$y_{наим} = (-1 - 2)^3 + 5 = (-3)^3 + 5 = -27 + 5 = -22$.

Наибольшее значение функции при $x=2$:
$y_{наиб} = (2 - 2)^3 + 5 = 0^3 + 5 = 5$.

Ответ: наименьшее значение -22, наибольшее значение 5.

г) $y = -(x - 3)^3 - 1, x \in [-4; 8]$

В данной функции $y = -(x - 3)^3 - 1$ коэффициент $k=-1$ (отрицательный), следовательно, функция является монотонно убывающей. На отрезке $[-4; 8]$ наибольшее значение достигается в левой границе, а наименьшее — в правой.

Наибольшее значение функции при $x=-4$:
$y_{наиб} = -(-4 - 3)^3 - 1 = -(-7)^3 - 1 = -(-343) - 1 = 343 - 1 = 342$.

Наименьшее значение функции при $x=8$:
$y_{наим} = -(8 - 3)^3 - 1 = -(5)^3 - 1 = -125 - 1 = -126$.

Ответ: наименьшее значение -126, наибольшее значение 342.