Номер 12.3, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

12.3 Постройте график функции $y = f(x)$, где $f(x) = -(x - 1)^3 + 2$. С помощью графика найдите:

а) $f(0)$, $f(-1)$, $f(3)$;

б) корень уравнения $f(x) = -6$;

в) решение неравенства $f(x) < 1$;

г) значения аргумента, при которых функция выпукла вверх, выпукла вниз.

Для построения графика функции $y = f(x)$, где $f(x) = -(x - 1)^3 + 2$, выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = x^3$.

1. Начнем с графика функции $y = x^3$ (кубическая парабола).
2. Отразим его симметрично относительно оси $Ox$, чтобы получить график $y = -x^3$.
3. Сдвинем полученный график на 1 единицу вправо вдоль оси $Ox$. Получим график функции $y = -(x - 1)^3$.
4. Сдвинем последний график на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Это и будет искомый график $y = f(x) = -(x - 1)^3 + 2$.

Центр симметрии (точка перегиба) графика $y=x^3$ находится в точке $(0, 0)$. После всех преобразований центр симметрии для графика $f(x)$ сместится в точку $(1, 2)$.

Для более точного построения найдем несколько ключевых точек:

• $x = -1 \implies y = -(-1 - 1)^3 + 2 = -(-2)^3 + 2 = 8 + 2 = 10$. Точка $(-1, 10)$.
• $x = 0 \implies y = -(0 - 1)^3 + 2 = -(-1)^3 + 2 = 1 + 2 = 3$. Точка $(0, 3)$.
• $x = 1 \implies y = -(1 - 1)^3 + 2 = 0 + 2 = 2$. Точка $(1, 2)$.
• $x = 2 \implies y = -(2 - 1)^3 + 2 = -(1)^3 + 2 = -1 + 2 = 1$. Точка $(2, 1)$.
• $x = 3 \implies y = -(3 - 1)^3 + 2 = -(2)^3 + 2 = -8 + 2 = -6$. Точка $(3, -6)$.

График функции является монотонно убывающей кривой, проходящей через указанные точки.

Теперь, используя построенный график, ответим на вопросы задачи.

а) $f(0)$, $f(-1)$, $f(3)$

Находим на графике точки, абсциссы которых равны $0$, $-1$ и $3$, и определяем их ординаты.

• Для $x=0$, находим на оси $Oy$ (где $x=0$) точку на графике. Ее ордината равна $3$. Таким образом, $f(0) = 3$.
• Для $x=-1$, находим соответствующую точку на графике. Ее ордината равна $10$. Таким образом, $f(-1) = 10$.
• Для $x=3$, находим соответствующую точку на графике. Ее ордината равна $-6$. Таким образом, $f(3) = -6$.

Эти значения совпадают с расчетными.
Ответ: $f(0)=3$, $f(-1)=10$, $f(3)=-6$.

б) корень уравнения $f(x) = -6$

Чтобы решить уравнение $f(x) = -6$ графически, нужно найти абсциссу точки пересечения графика $y=f(x)$ и горизонтальной прямой $y=-6$. Проведя мысленно прямую $y=-6$, мы видим, что она пересекает наш график в одной точке. Из наших расчетов для построения мы уже знаем, что это точка $(3, -6)$. Следовательно, абсцисса этой точки равна $3$.
Ответ: $x=3$.

в) решение неравенства $f(x) < 1$

Чтобы решить неравенство $f(x) < 1$, нужно найти все значения $x$, при которых график функции $y=f(x)$ лежит ниже прямой $y=1$.

1. Сначала найдем точку пересечения графика с прямой $y=1$. Решим уравнение $f(x) = 1$:
   $-(x-1)^3 + 2 = 1$
   $-(x-1)^3 = -1$
   $(x-1)^3 = 1$
   $x-1 = 1$
   $x=2$.
   Точка пересечения имеет координаты $(2, 1)$.
2. На графике видно, что кривая находится ниже прямой $y=1$ справа от точки пересечения. Так как функция $f(x)$ монотонно убывает, то для любого $x > 2$ значение функции будет меньше $f(2)=1$.

Следовательно, решение неравенства — это интервал $(2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

г) значения аргумента, при которых функция выпукла вверх, выпукла вниз

Направление выпуклости графика функции меняется в точке перегиба, которая для нашей функции имеет координаты $(1, 2)$.

• Выпуклость вверх (или вогнутость) наблюдается на той части графика, которая "изгибается вниз". Для кубической параболы вида $y=-x^3$ это происходит при $x>0$. В нашем случае, с учетом сдвига, это будет при $x-1 > 0$, то есть при $x > 1$. На графике видно, что справа от точки перегиба $(1,2)$ кривая выпукла вверх.
• Выпуклость вниз (или просто выпуклость) наблюдается на той части графика, которая "изгибается вверх". Для $y=-x^3$ это происходит при $x<0$. В нашем случае это будет при $x-1 < 0$, то есть при $x < 1$. На графике видно, что слева от точки перегиба $(1,2)$ кривая выпукла вниз.

Ответ: функция выпукла вверх при $x \in (1; +\infty)$, выпукла вниз при $x \in (-\infty; 1)$.