Номер 11.31, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Исследуйте функцию на чётность и постройте её график:

11.31 а) $y=x^2+2|x|-1$;
б) $y=\frac{3}{|x|}$;
в) $y=-x^2-3|x|+4$;
г) $y=-\frac{4}{|x|}$.

a) $y = x^2 + 2|x| - 1$

Исследование на чётность:
1. Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
2. Найдём $y(-x)$: $y(-x) = (-x)^2 + 2|-x| - 1 = x^2 + 2|x| - 1$.
3. Так как $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.

Построение графика:
Поскольку функция чётная, её график симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Это позволяет нам построить график для $x \ge 0$ и затем зеркально отразить его относительно оси Oy.
При $x \ge 0$, модуль $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = x^2 + 2x - 1$.
Это парабола с ветвями, направленными вверх. Найдём несколько точек для этой части графика:
- при $x = 0$, $y = 0^2 + 2(0) - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.
- при $x = 1$, $y = 1^2 + 2(1) - 1 = 2$. Точка $(1, 2)$.
- при $x = 2$, $y = 2^2 + 2(2) - 1 = 7$. Точка $(2, 7)$.
Строим эту часть графика для $x \ge 0$. Затем отражаем её симметрично относительно оси Oy, получая вторую часть графика для $x < 0$. Например, точка $(1, 2)$ перейдёт в $(-1, 2)$. Итоговый график состоит из двух частей парабол, которые соединяются в точке $(0, -1)$, являющейся точкой минимума функции.

Ответ: Функция является чётной. График симметричен относительно оси Oy и представляет собой объединение двух ветвей парабол, сходящихся в точке минимума $(0, -1)$.

б) $y = \frac{3}{|x|}$

Исследование на чётность:
1. Область определения функции $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична относительно начала координат, так как $x \ne 0$.
2. Найдём $y(-x)$: $y(-x) = \frac{3}{|-x|} = \frac{3}{|x|}$.
3. Так как $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.

Построение графика:
Так как функция чётная, её график симметричен относительно оси Oy. Построим его для $x > 0$ и отразим.
При $x > 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = \frac{3}{x}$.
Это гипербола, расположенная в I координатной четверти. Оси координат являются её асимптотами. Найдём несколько точек:
- при $x = 1$, $y = 3$. Точка $(1, 3)$.
- при $x = 3$, $y = 1$. Точка $(3, 1)$.
- при $x = 0.5$, $y = 6$. Точка $(0.5, 6)$.
Строим эту ветвь гиперболы. Затем отражаем её симметрично относительно оси Oy, чтобы получить вторую ветвь в II координатной четверти. Точка $(1, 3)$ перейдёт в $(-1, 3)$.

Ответ: Функция является чётной. График состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в I и II координатных четвертях и симметричных относительно оси Oy.

в) $y = -x^2 - 3|x| + 4$

Исследование на чётность:
1. Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
2. Найдём $y(-x)$: $y(-x) = -(-x)^2 - 3|-x| + 4 = -x^2 - 3|x| + 4$.
3. Так как $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.

Построение графика:
График функции симметричен относительно оси Oy. Построим его для $x \ge 0$.
При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = -x^2 - 3x + 4$.
Это парабола с ветвями, направленными вниз. Найдём ключевые точки:
- Пересечение с осью Oy (вершина итогового графика): при $x = 0$, $y = -0^2 - 3(0) + 4 = 4$. Точка $(0, 4)$.
- Пересечение с осью Ox: решим уравнение $-x^2 - 3x + 4 = 0 \Rightarrow x^2 + 3x - 4 = 0$. Корни $x = 1$ и $x = -4$. Для $x \ge 0$ подходит корень $x=1$. Точка $(1, 0)$.
Строим часть параболы для $x \ge 0$, которая начинается в точке $(0, 4)$ и проходит через точку $(1, 0)$. Затем отражаем эту часть симметрично относительно оси Oy. Точка $(1, 0)$ перейдёт в $(-1, 0)$. Итоговый график состоит из двух ветвей парабол с общей вершиной в точке $(0, 4)$, которая является точкой максимума функции.

Ответ: Функция является чётной. График симметричен относительно оси Oy, состоит из двух ветвей парабол с общей вершиной в точке максимума $(0, 4)$.

г) $y = -\frac{4}{|x|}$

Исследование на чётность:
1. Область определения функции $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как $x \ne 0$. Область симметрична.
2. Найдём $y(-x)$: $y(-x) = -\frac{4}{|-x|} = -\frac{4}{|x|}$.
3. Так как $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.

Построение графика:
График функции симметричен относительно оси Oy. Построим его для $x > 0$.
При $x > 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = -\frac{4}{x}$.
Это гипербола, расположенная в IV координатной четверти. Оси координат — её асимптоты. Найдём несколько точек:
- при $x = 1$, $y = -4$. Точка $(1, -4)$.
- при $x = 2$, $y = -2$. Точка $(2, -2)$.
- при $x = 4$, $y = -1$. Точка $(4, -1)$.
Строим эту ветвь гиперболы. Затем отражаем её симметрично относительно оси Oy, получая вторую ветвь в III координатной четверти. Точка $(1, -4)$ перейдёт в $(-1, -4)$.

Ответ: Функция является чётной. График состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в III и IV координатных четвертях и симметричных относительно оси Oy.