Номер 11.24, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

11.24 $$y = \begin{cases} 1, & \text{если } -2 \le x \le -1; \\ 2x^2 - 1, & \text{если } -1 < x \le 1; \\ 1, & \text{если } 1 < x \le 2. \end{cases}$$

Для решения данной задачи необходимо проанализировать и построить график кусочно-заданной функции:

$y = \begin{cases} 1, & \text{если } -2 \le x \le -1; \\ 2x^2 - 1, & \text{если } -1 < x \le 1; \\ 1, & \text{если } 1 < x \le 2. \end{cases}$

Проанализируем каждый участок функции отдельно.

1. Участок на интервале $-2 \le x \le -1$

На этом отрезке функция задается уравнением $y=1$. Это функция-константа, графиком которой является горизонтальная прямая линия. Так как интервал включает граничные точки (нестрогое неравенство), найдем значения функции на концах отрезка:
- При $x = -2$, $y = 1$. Координаты точки: $(-2, 1)$.
- При $x = -1$, $y = 1$. Координаты точки: $(-1, 1)$.
Следовательно, на этом участке график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки $(-2, 1)$ и $(-1, 1)$. Обе точки включены в график.

2. Участок на интервале $-1 < x \le 1$

Здесь функция задается уравнением $y = 2x^2 - 1$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2$).

Найдем вершину параболы. Координата $x_0$ вершины вычисляется по формуле $x_0 = -b/(2a)$. В нашем случае $a=2, b=0$, поэтому $x_0 = 0$. Координата $y_0$ вершины: $y_0 = 2(0)^2 - 1 = -1$. Вершина параболы находится в точке $(0, -1)$. Эта точка принадлежит рассматриваемому интервалу $(-1, 1]$.

Теперь рассмотрим поведение функции на границах интервала:
- При $x = 1$ (правая граница, включена в интервал): $y = 2(1)^2 - 1 = 1$. Координаты точки: $(1, 1)$. Эта точка будет закрашенной.
- При $x \to -1^+$ (левая граница, не включена в интервал): $y \to 2(-1)^2 - 1 = 1$. Координаты точки: $(-1, 1)$. Для этого участка параболы точка $(-1, 1)$ является выколотой. Однако, как мы видели в пункте 1, точка $(-1, 1)$ принадлежит графику функции. Это означает, что в точке $x=-1$ разрыва нет, и график является непрерывным.

3. Участок на интервале $1 < x \le 2$

На этом отрезке функция снова является константой: $y=1$. График — горизонтальная прямая линия.
- При $x = 2$ (правая граница, включена в интервал): $y = 1$. Координаты точки: $(2, 1)$.
- При $x \to 1^+$ (левая граница, не включена в интервал): значение функции стремится к 1. Точка $(1, 1)$ была бы выколотой, если бы мы рассматривали только этот участок. Но из анализа второго участка мы знаем, что точка $(1, 1)$ принадлежит графику. Следовательно, в точке $x=1$ функция также непрерывна.

Таким образом, на этом участке график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки $(1, 1)$ и $(2, 1)$.

Общее описание графика и его свойства

Объединив все три участка, мы получаем единый непрерывный график на отрезке $[-2, 2]$.
- На отрезке $[-2, -1]$ это горизонтальный отрезок на уровне $y=1$.
- На полуинтервале $(-1, 1]$ это часть параболы $y=2x^2-1$, которая соединяет точки $(-1, 1)$ и $(1, 1)$ и проходит через свою вершину в точке $(0, -1)$.
- На полуинтервале $(1, 2]$ это снова горизонтальный отрезок на уровне $y=1$.
Весь график можно описать так: он начинается в точке $(-2, 1)$, идет горизонтально до точки $(-1, 1)$, затем опускается по параболе до минимума в точке $(0, -1)$, симметрично поднимается по той же параболе до точки $(1, 1)$ и далее идет горизонтально до точки $(2, 1)$.

Основные свойства функции:
Область определения: $D(y) = [-2, 2]$.
Область значений: $E(y) = [-1, 1]$. Минимальное значение $-1$ достигается в точке $x=0$, а максимальное значение $1$ достигается на отрезках $[-2, -1]$ и $[1, 2]$.
Четность: Функция является четной, так как ее область определения $D(y)=[-2, 2]$ симметрична относительно нуля и $y(-x) = y(x)$ для всех $x \in D(y)$. График функции симметричен относительно оси OY.
Нули функции: $y=0$ при $2x^2-1=0 \implies x^2 = 1/2 \implies x = \pm 1/\sqrt{2}$. Обе точки входят в интервал $(-1, 1]$.
Промежутки монотонности:
- Функция постоянна на $[-2, -1]$.
- Функция убывает на $[-1, 0]$.
- Функция возрастает на $[0, 1]$.
- Функция постоянна на $[1, 2]$.

Ответ: Графиком функции является непрерывная линия на отрезке $[-2, 2]$. Она состоит из трех частей: горизонтального отрезка $y=1$ на $[-2, -1]$, дуги параболы $y=2x^2-1$ на $(-1, 1]$ (с вершиной в точке $(0,-1)$) и горизонтального отрезка $y=1$ на $(1, 2]$. Функция является четной, ее график симметричен относительно оси ординат. Область определения функции $D(y) = [-2, 2]$, область значений $E(y) = [-1, 1]$.