Номер 11.22, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

11.22 Представьте функцию $y = f(x)$, где $f(x) = 4x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 5$ в виде суммы чётной и нечётной функций.

Любая функция $f(x)$, определенная на симметричной относительно начала координат области определения, может быть представлена в виде суммы четной и нечетной функций.

Пусть $f(x) = g(x) + h(x)$, где $g(x)$ — это четная составляющая, а $h(x)$ — нечетная. Их можно найти по следующим формулам:

• Четная часть: $g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$
• Нечетная часть: $h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$

Дана функция $f(x) = 4x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 5$.

1. Найдем значение $f(-x)$

Для этого подставим $-x$ вместо $x$ в исходное выражение для функции: $f(-x) = 4(-x)^4 - (-x)^3 + 2(-x)^2 - (-x) + 5$
$f(-x) = 4x^4 - (-x^3) + 2x^2 + x + 5$
$f(-x) = 4x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 5$

2. Найдем четную составляющую $g(x)$

Используем формулу для четной части: $g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} = \frac{(4x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 5) + (4x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 5)}{2}$
Сгруппируем и сократим подобные члены в числителе: $g(x) = \frac{4x^4 + 4x^4 - x^3 + x^3 + 2x^2 + 2x^2 - x + x + 5 + 5}{2}$
$g(x) = \frac{8x^4 + 4x^2 + 10}{2}$
$g(x) = 4x^4 + 2x^2 + 5$

3. Найдем нечетную составляющую $h(x)$

Используем формулу для нечетной части: $h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} = \frac{(4x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 5) - (4x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 5)}{2}$
Раскроем скобки и сократим подобные члены в числителе: $h(x) = \frac{4x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 5 - 4x^4 - x^3 - 2x^2 - x - 5}{2}$
$h(x) = \frac{-x^3 - x^3 - x - x}{2}$
$h(x) = \frac{-2x^3 - 2x}{2}$
$h(x) = -x^3 - x$

4. Представим функцию в виде суммы

Теперь мы можем представить исходную функцию $y = f(x)$ как сумму найденных четной и нечетной функций $g(x)$ и $h(x)$: $y = g(x) + h(x) = (4x^4 + 2x^2 + 5) + (-x^3 - x)$

Ответ: $y = (4x^4 + 2x^2 + 5) + (-x^3 - x)$.