Номер 11.19, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

11.19 $f(x) = \begin{cases} x^2, \text{ если } x < 0; \\ -x^2, \text{ если } x \ge 0. \end{cases}$

В задаче дана кусочно-заданная функция. Для ее полного решения проведем ее всесторонний анализ, включающий нахождение области определения и значений, исследование на непрерывность, дифференцируемость, четность, а также построение графика.

$f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 0; \\ -x^2, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

1. Область определения и область значений функции

Область определения функции $D(f)$ — это множество всех значений $x$, для которых функция определена. Данная функция определена для всех $x < 0$ и для всех $x \ge 0$. Таким образом, функция определена для всех действительных чисел.

Область значений функции $E(f)$ — это множество всех значений, которые принимает функция.
При $x < 0$, функция $f(x) = x^2$ принимает все значения из интервала $(0, +\infty)$.
При $x \ge 0$, функция $f(x) = -x^2$ принимает все значения из интервала $(-\infty, 0]$.
Объединяя эти два множества, получаем, что область значений функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Область значений $E(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Непрерывность функции

Функция $f(x)$ определена на всей числовой оси.
На интервале $(-\infty, 0)$ функция $f(x) = x^2$ является непрерывной как степенная функция.
На интервале $(0, +\infty)$ функция $f(x) = -x^2$ является непрерывной как степенная функция.
Исследуем непрерывность в точке "стыка" $x=0$. Для этого найдем односторонние пределы и значение функции в этой точке.
Значение функции в точке $x=0$: $f(0) = -0^2 = 0$.
Левосторонний предел: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^2 = 0$.
Правосторонний предел: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (-x^2) = 0$.
Поскольку левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в точке $x=0$ равны, функция непрерывна в этой точке.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси $(-\infty, +\infty)$.

3. Дифференцируемость функции

Найдем производную функции на каждом из интервалов.
При $x < 0$: $f'(x) = (x^2)' = 2x$.
При $x > 0$: $f'(x) = (-x^2)' = -2x$.
Исследуем дифференцируемость в точке $x=0$. Для этого найдем левую и правую производные в этой точке, вычислив пределы производной слева и справа.
Левая производная: $f'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} (2x) = 0$.
Правая производная: $f'_{+}(0) = \lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} (-2x) = 0$.
Так как левая и правая производные в точке $x=0$ существуют и равны, то функция дифференцируема в этой точке, и $f'(0) = 0$.
Таким образом, производная функции существует для всех $x$ и может быть записана как: $f'(x) = \begin{cases} 2x, & \text{если } x < 0 \\ 0, & \text{если } x = 0 \\ -2x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$
Это выражение можно записать в более компактном виде с использованием модуля: $f'(x) = -2|x|$.

Ответ: Функция дифференцируема на всей числовой оси $(-\infty, +\infty)$. Ее производная $f'(x) = -2|x|$.

4. Четность и нечетность

Проверим функцию на четность/нечетность. Для этого нужно сравнить $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$. Область определения $D(f) = \mathbb{R}$ симметрична относительно нуля.
Рассмотрим случай, когда $x > 0$. Тогда $-x < 0$.
$f(x) = -x^2$ (по второму правилу).
$f(-x) = (-x)^2 = x^2$ (по первому правилу).
Сравниваем: $f(-x) = x^2$ и $-f(x) = -(-x^2) = x^2$. Следовательно, $f(-x) = -f(x)$.
Рассмотрим случай, когда $x < 0$. Тогда $-x > 0$.
$f(x) = x^2$ (по первому правилу).
$f(-x) = -(-x)^2 = -x^2$ (по второму правилу).
Сравниваем: $f(-x) = -x^2$ и $-f(x) = -(x^2) = -x^2$. Следовательно, $f(-x) = -f(x)$.
Для $x=0$, $f(0)=0$ и $-f(0)=0$, $f(-0)=f(0)=0$, так что $f(-0)=-f(0)$.
Поскольку для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Это также можно увидеть, представив функцию в виде $f(x)=-x|x|$.
$f(-x) = -(-x)|-x| = x|x|$.
$-f(x) = -(-x|x|) = x|x|$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция нечетная.

Ответ: Функция является нечетной.

5. Построение графика функции

Для построения графика функции, мы строим две части парабол на соответствующих промежутках.
1. Для $x < 0$, строим график $y = x^2$. Это левая ветвь стандартной параболы, ветви которой направлены вверх.
2. Для $x \ge 0$, строим график $y = -x^2$. Это правая ветвь параболы, ветви которой направлены вниз, вместе с ее вершиной в точке $(0, 0)$.
Объединяя эти две части, мы получаем непрерывный график. Поскольку функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.
Контрольные точки: $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, -1)$, $(2, -4)$.

Ответ: График функции состоит из левой ветви параболы $y=x^2$ для $x<0$ и правой ветви параболы $y=-x^2$ (включая вершину) для $x \ge 0$.