Номер 11.12, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

11.12 а) Известно, что функция $y = f(x)$ — чётная и возрастает при $x > 0$. Определите характер монотонности функции при $x < 0$.

б) Известно, что функция $y = f(x)$ — чётная и убывает при $x > 0$. Определите характер монотонности функции при $x < 0$.

в) Известно, что функция $y = f(x)$ — нечётная и возрастает при $x > 0$. Определите характер монотонности функции при $x < 0$.

г) Известно, что функция $y = f(x)$ — нечётная и убывает при $x > 0$. Определите характер монотонности функции при $x < 0$.

а) Чтобы определить характер монотонности функции при $x < 0$, возьмём две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, такие что $x_1 < x_2 < 0$. Умножив неравенство на $-1$, мы получим $0 < -x_2 < -x_1$. По условию, функция $y = f(x)$ возрастает при $x > 0$. Это означает, что для любых двух положительных чисел, меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, из $-x_2 < -x_1$ следует, что $f(-x_2) < f(-x_1)$. Также по условию, функция является чётной, то есть $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. Применяя это свойство к нашему неравенству, получаем $f(x_2) < f(x_1)$. Итак, для любых $x_1 < x_2$ из интервала $(-\infty, 0)$ выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Это по определению означает, что функция убывает.
Ответ: функция убывает при $x < 0$.

б) Возьмём две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из интервала $x < 0$, такие что $x_1 < x_2 < 0$. Тогда для их противоположных значений выполняется неравенство $0 < -x_2 < -x_1$. По условию, функция $y = f(x)$ убывает при $x > 0$. Это значит, что для любых двух положительных чисел, меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции. Таким образом, из $-x_2 < -x_1$ следует, что $f(-x_2) > f(-x_1)$. Функция является чётной, поэтому $f(-x) = f(x)$. Применив это свойство, получаем $f(x_2) > f(x_1)$. Итак, для любых $x_1 < x_2$ из интервала $(-\infty, 0)$ выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Это по определению означает, что функция возрастает.
Ответ: функция возрастает при $x < 0$.

в) Возьмём две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из интервала $x < 0$, такие что $x_1 < x_2 < 0$. Для их противоположных значений верно неравенство $0 < -x_2 < -x_1$. По условию, функция $y = f(x)$ возрастает при $x > 0$, поэтому из $-x_2 < -x_1$ следует $f(-x_2) < f(-x_1)$. Также по условию, функция является нечётной, то есть $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из области определения. Применяя это свойство, получаем $-f(x_2) < -f(x_1)$. Умножим обе части этого неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $f(x_2) > f(x_1)$. Итак, для любых $x_1 < x_2$ из интервала $(-\infty, 0)$ выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Это по определению означает, что функция возрастает.
Ответ: функция возрастает при $x < 0$.

г) Возьмём две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из интервала $x < 0$, такие что $x_1 < x_2 < 0$. Тогда для их противоположных значений верно неравенство $0 < -x_2 < -x_1$. По условию, функция $y = f(x)$ убывает при $x > 0$, поэтому из $-x_2 < -x_1$ следует $f(-x_2) > f(-x_1)$. Функция является нечётной, поэтому $f(-x) = -f(x)$. Подставив это в неравенство, получим $-f(x_2) > -f(x_1)$. Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства: $f(x_2) < f(x_1)$. Итак, для любых $x_1 < x_2$ из интервала $(-\infty, 0)$ выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Это по определению означает, что функция убывает.
Ответ: функция убывает при $x < 0$.