Номер 11.8, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

11.8 a) $y = 2x^3$, $x \in [-2; 2];$

б) $y = -x^2$, $x \in [-1; 0];$

В) $y = -x^2$, $x \in (-\infty; +\infty);$

Г) $y = 2x^3$, $x \in [-3; 3).$

а) Для нахождения множества значений функции $y = 2x^3$ на отрезке $x \in [-2; 2]$, нужно найти ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке. Функция является непрерывной, поэтому она достигает своих экстремумов либо на концах отрезка, либо в критических точках внутри него.
1. Найдем производную функции: $y' = (2x^3)' = 2 \cdot 3x^2 = 6x^2$.
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $6x^2 = 0$, откуда $x=0$. Эта точка принадлежит отрезку $[-2; 2]$.
3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$y(-2) = 2 \cdot (-2)^3 = 2 \cdot (-8) = -16$.
$y(0) = 2 \cdot (0)^3 = 0$.
$y(2) = 2 \cdot (2)^3 = 2 \cdot 8 = 16$.
4. Сравнивая полученные значения (-16, 0, 16), находим, что наименьшее значение функции на отрезке равно -16, а наибольшее равно 16.
Таким образом, множество значений функции на данном отрезке — это все числа от -16 до 16 включительно.
Ответ: $[-16; 16]$.

б) Для нахождения множества значений функции $y = -x^2$ на отрезке $x \in [-1; 0]$, исследуем ее поведение на этом отрезке.
1. Найдем производную функции: $y' = (-x^2)' = -2x$.
2. Найдем критические точки: $-2x = 0$, откуда $x=0$. Эта точка является правым концом заданного отрезка.
3. Поскольку на интервале $(-1; 0)$ производная $y' = -2x > 0$, функция на всем отрезке $[-1; 0]$ возрастает.
4. Следовательно, наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.
$y_{min} = y(-1) = -(-1)^2 = -1$.
$y_{max} = y(0) = -(0)^2 = 0$.
Таким образом, множество значений функции на данном отрезке — это все числа от -1 до 0 включительно.
Ответ: $[-1; 0]$.

в) Требуется найти множество значений функции $y = -x^2$ на всей числовой прямой, то есть при $x \in (-\infty; +\infty)$.
1. Графиком функции $y = -x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз.
2. Вершина этой параболы находится в точке с координатами $(0; 0)$.
3. Так как ветви параболы направлены вниз, в своей вершине функция достигает наибольшего значения. Наибольшее значение равно $y(0) = 0$.
4. При $x$, стремящемся к $+\infty$ или $-\infty$, значение $x^2$ стремится к $+\infty$, а значение $-x^2$ стремится к $-\infty$.
Таким образом, функция принимает все значения от $-\infty$ до своего максимального значения 0 включительно.
Ответ: $(-\infty; 0]$.

г) Для нахождения множества значений функции $y = 2x^3$ на отрезке $x \in [-3; 3]$, воспользуемся тем, что это возрастающая функция.
1. Найдем производную функции: $y' = (2x^3)' = 6x^2$.
2. Поскольку производная $y' = 6x^2 \ge 0$ при всех значениях $x$ и обращается в ноль только в одной точке $x=0$, функция является строго возрастающей на всей числовой прямой.
3. Для возрастающей функции на отрезке ее наименьшее значение достигается на левом конце, а наибольшее — на правом.
4. Вычислим значения функции на концах отрезка:
$y_{min} = y(-3) = 2 \cdot (-3)^3 = 2 \cdot (-27) = -54$.
$y_{max} = y(3) = 2 \cdot (3)^3 = 2 \cdot 27 = 54$.
Следовательно, множество значений функции на данном отрезке — это все числа от -54 до 54 включительно.
Ответ: $[-54; 54]$.