Номер 11.5, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

11.5 Докажите, что функция $y = x^2 + x$ не является ни чётной, ни нечётной.

Чтобы доказать, что функция $y(x) = x^2 + x$ не является ни чётной, ни нечётной, необходимо проверить, выполняются ли для неё соответствующие определения. Область определения данной функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля, что является необходимым условием для исследования функции на чётность и нечётность.

Функция является чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $y(-x) = y(x)$.
Найдём $y(-x)$:
$y(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x$.
Теперь сравним $y(-x)$ с $y(x)$: равенство $x^2 - x = x^2 + x$ выполняется только при $-x = x$, то есть при $x=0$. Поскольку равенство должно выполняться для всех $x$ из области определения, а не только для одной точки, функция не является чётной.
Для доказательства достаточно привести контрпример. Возьмём $x = 1$:
$y(1) = 1^2 + 1 = 2$
$y(-1) = (-1)^2 + (-1) = 1 - 1 = 0$
Так как $y(1) \neq y(-1)$, функция не является чётной.

Функция является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$.
Мы уже нашли, что $y(-x) = x^2 - x$. Найдём выражение для $-y(x)$:
$-y(x) = -(x^2 + x) = -x^2 - x$.
Теперь сравним $y(-x)$ с $-y(x)$: равенство $x^2 - x = -x^2 - x$ выполняется только при $x^2 = -x^2$, то есть при $x=0$. Поскольку равенство не выполняется для всех $x$ из области определения, функция не является нечётной.
Используем тот же контрпример $x=1$:
$y(-1) = 0$
$-y(1) = -(1^2+1) = -2$
Так как $y(-1) \neq -y(1)$, функция не является нечётной.

Поскольку функция не удовлетворяет ни условию чётности, ни условию нечётности, она является функцией общего вида.

Ответ: Доказано, что функция $y = x^2 + x$ не является ни чётной, ни нечётной.