Номер 10.26, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте и прочитайте график функции:

10.26 $y = \begin{cases} 2, & \text{если } -3 \le x \le 1; \\ \sqrt{x}, & \text{если } 1 < x \le 4; \\ (x-5)^2 + 1, & \text{если } 4 < x \le 6. \end{cases}$

Для решения задачи необходимо выполнить два шага: построить график кусочно-заданной функции и затем описать её свойства ("прочитать" график).

Построение графика

График функции состоит из трех частей, каждая из которых строится на своем интервале:

• На промежутке $ [-3; 1] $ функция задается уравнением $ y = 2 $. Графиком является отрезок прямой, параллельной оси абсцисс, соединяющий точки $ (-3; 2) $ и $ (1; 2) $. Обе конечные точки включены, так как неравенство нестрогое.
• На промежутке $ (1; 4] $ функция задается уравнением $ y = \sqrt{x} $. Это часть ветви параболы, которая симметрична оси $Ox$. Найдем значения на границах промежутка: при $ x \to 1^+ $ (справа) значение $ y \to \sqrt{1} = 1 $, поэтому точка $ (1; 1) $ будет "выколотой"; при $ x = 4 $ значение $ y = \sqrt{4} = 2 $, поэтому точка $ (4; 2) $ будет закрашенной.
• На промежутке $ (4; 6] $ функция задается уравнением $ y = (x - 5)^2 + 1 $. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $ (5; 1) $, и эта точка принадлежит данному интервалу. Найдем значения на границах: при $ x \to 4^+ $ (справа) значение $ y \to (4 - 5)^2 + 1 = 2 $, поэтому точка $ (4; 2) $ будет "выколотой"; при $ x = 6 $ значение $ y = (6 - 5)^2 + 1 = 2 $, поэтому точка $ (6; 2) $ будет закрашенной.

Совмещая эти три части, получаем итоговый график. В точке $ x = 1 $ происходит разрыв (скачок с $y=2$ до $y=1$). В точке $ x = 4 $ разрыва нет, так как предел справа $y \to 2$ совпадает со значением функции слева $y(4)=2$.

Ответ: График функции состоит из трех участков: 1) горизонтального отрезка от точки $(-3; 2)$ до $(1; 2)$; 2) кривой $y=\sqrt{x}$ от выколотой точки $(1; 1)$ до точки $(4; 2)$; 3) участка параболы с вершиной в точке $(5; 1)$, соединяющего точки $(4; 2)$ и $(6; 2)$.

Свойства функции

1. Область определения: Функция определена на объединении промежутков $ [-3; 1] $, $ (1; 4] $ и $ (4; 6] $.
Ответ: $ D(y) = [-3; 6] $.

2. Область значений: На первом участке $ y = 2 $. На втором $ y \in (1; 2] $. На третьем $ y \in [1; 2] $. Объединение этих множеств дает итоговую область значений.
Ответ: $ E(y) = [1; 2] $.

3. Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения, кроме точки $ x = 1 $, где она имеет разрыв первого рода (скачок), так как $ \lim_{x\to 1-} y(x) = 2 $, а $ \lim_{x\to 1+} y(x) = 1 $.
Ответ: функция разрывна в точке $ x = 1 $.

4. Нули функции: Нули функции – это точки пересечения графика с осью $Ox$. Так как минимальное значение функции равно 1, график не пересекает ось $Ox$.
Ответ: нулей нет.

5. Промежутки знакопостоянства: Поскольку все значения функции лежат в диапазоне $ [1; 2] $, функция положительна на всей области определения.
Ответ: $ y > 0 $ при всех $ x \in [-3; 6] $.

6. Промежутки монотонности:

• На промежутке $ [-3; 1] $ функция постоянна ($y=2$).
• На промежутке $ (1; 4] $ функция возрастает.
• На промежутке $ (4; 5] $ функция убывает.
• На промежутке $ [5; 6] $ функция возрастает.

Ответ: функция постоянна на $ [-3; 1] $, убывает на $ (4; 5] $, возрастает на $ (1; 4] \cup [5; 6] $.

7. Экстремумы функции: Точка $ x = 5 $ является точкой минимума. Наибольшее и наименьшее значения функция принимает.
Ответ: $ x_{min} = 5 $, наименьшее значение функции $ y_{min} = 1 $. Наибольшее значение функции $ y_{max} = 2 $.

8. Четность и нечетность: Область определения функции $ [-3; 6] $ не является симметричной относительно начала координат, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: функция общего вида.