Номер 10.21, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

10.21 а) $y = x^2 + 4x - 3$;

б) $y = -4x^2 - 12x + 1$;

в) $y = 9x^2 + 6x - 5$;

г) $y = -x^2 + 8x - 12$.

а) $y = x^2 + 4x - 3$

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$, что больше нуля. Следовательно, ветви параболы направлены вверх, и функция имеет наименьшее значение, но не имеет наибольшего. Наименьшее значение достигается в вершине параболы.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

Для нахождения ординаты вершины, которая и является наименьшим значением функции, подставим $x_v = -2$ в уравнение функции:

$y_v = y(-2) = (-2)^2 + 4(-2) - 3 = 4 - 8 - 3 = -7$.

Альтернативный способ — выделение полного квадрата:

$y = x^2 + 4x - 3 = (x^2 + 4x + 4) - 4 - 3 = (x + 2)^2 - 7$.

Поскольку выражение $(x + 2)^2$ всегда неотрицательно, его наименьшее значение равно $0$ и достигается при $x = -2$. Следовательно, наименьшее значение всей функции равно $0 - 7 = -7$.

Ответ: наименьшее значение функции $-7$; наибольшего значения не существует.

б) $y = -4x^2 - 12x + 1$

Это квадратичная функция с коэффициентом $a = -4$, который меньше нуля. Ветви параболы направлены вниз, поэтому функция имеет наибольшее значение в вершине и не имеет наименьшего значения.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot (-4)} = -\frac{-12}{-8} = -\frac{3}{2}$.

Ордината вершины (наибольшее значение функции) находится подстановкой $x_v$ в уравнение:

$y_v = y(-\frac{3}{2}) = -4(-\frac{3}{2})^2 - 12(-\frac{3}{2}) + 1 = -4(\frac{9}{4}) + 18 + 1 = -9 + 18 + 1 = 10$.

Также можно выделить полный квадрат:

$y = -4x^2 - 12x + 1 = -4(x^2 + 3x) + 1 = -4(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2) + 1 = -4((x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) + 1 = -4(x + \frac{3}{2})^2 + 9 + 1 = -4(x + \frac{3}{2})^2 + 10$.

Выражение $-4(x + \frac{3}{2})^2$ всегда неположительно, его наибольшее значение равно $0$ (при $x = -\frac{3}{2}$). Значит, наибольшее значение функции составляет $0 + 10 = 10$.

Ответ: наибольшее значение функции $10$; наименьшего значения не существует.

в) $y = 9x^2 + 6x - 5$

Квадратичная функция, коэффициент $a = 9 > 0$. Ветви параболы направлены вверх. Функция имеет наименьшее значение и не имеет наибольшего.

Найдем координаты вершины. Абсцисса вершины:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 9} = -\frac{6}{18} = -\frac{1}{3}$.

Ордината вершины (наименьшее значение функции):

$y_v = y(-\frac{1}{3}) = 9(-\frac{1}{3})^2 + 6(-\frac{1}{3}) - 5 = 9(\frac{1}{9}) - 2 - 5 = 1 - 2 - 5 = -6$.

Выделим полный квадрат для проверки:

$y = 9x^2 + 6x - 5 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 - 1^2 - 5 = (3x + 1)^2 - 6$.

Наименьшее значение выражения $(3x+1)^2$ равно $0$ и достигается при $x=-\frac{1}{3}$. Таким образом, наименьшее значение функции равно $0 - 6 = -6$.

Ответ: наименьшее значение функции $-6$; наибольшего значения не существует.

г) $y = -x^2 + 8x - 12$

Квадратичная функция, коэффициент $a = -1 < 0$. Ветви параболы направлены вниз. Функция имеет наибольшее значение и не имеет наименьшего.

Найдем координаты вершины. Абсцисса вершины:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = \frac{8}{2} = 4$.

Ордината вершины (наибольшее значение функции):

$y_v = y(4) = -(4)^2 + 8(4) - 12 = -16 + 32 - 12 = 4$.

Выделим полный квадрат:

$y = -x^2 + 8x - 12 = -(x^2 - 8x) - 12 = -(x^2 - 8x + 16 - 16) - 12 = -((x - 4)^2 - 16) - 12 = -(x - 4)^2 + 16 - 12 = -(x - 4)^2 + 4$.

Наибольшее значение выражения $-(x-4)^2$ равно $0$ и достигается при $x=4$. Следовательно, наибольшее значение функции составляет $0 + 4 = 4$.

Ответ: наибольшее значение функции $4$; наименьшего значения не существует.