Номер 10.15, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 10. Свойства функций. Глава 3. Числовые функции. ч. 2 - номер 10.15, страница 67.

10.15 $y = \begin{cases} 4 - 2x^2, & \text{если } -1 \le x \le 1; \\ x + 1, & \text{если } 1 < x \le 3. \end{cases}$

Для детального решения задачи проведем полное исследование заданной кусочно-непрерывной функции:

$y = \begin{cases} 4 - 2x^2, & \text{если } -1 \le x \le 1 \\ x + 1, & \text{если } 1 < x \le 3 \end{cases}$

1. Область определения функции

Функция определена на двух промежутках. Первый промежуток — это отрезок $[-1, 1]$. Второй — полуинтервал $(1, 3]$. Область определения функции $D(y)$ является объединением этих двух множеств:

$D(y) = [-1, 1] \cup (1, 3] = [-1, 3]$.

Ответ: Область определения функции — отрезок $[-1, 3]$.

2. Исследование на непрерывность

Функция $y = 4 - 2x^2$ является непрерывной на всей числовой прямой, а значит, и на отрезке $[-1, 1]$.

Функция $y = x + 1$ также является непрерывной на всей числовой прямой, а значит, и на полуинтервале $(1, 3]$.

Единственная точка, в которой непрерывность может быть нарушена, — это точка "стыка" $x = 1$. Проверим непрерывность в этой точке. Для этого необходимо проверить, что значение функции в точке равно ее левостороннему и правостороннему пределам.

Значение функции в точке $x=1$ определяется первой формулой, так как неравенство $-1 \le x \le 1$ является нестрогим:

$y(1) = 4 - 2(1)^2 = 4 - 2 = 2$.

Найдем левосторонний предел (при $x \to 1^-$):

$\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^-} (4 - 2x^2) = 4 - 2(1)^2 = 2$.

Найдем правосторонний предел (при $x \to 1^+$):

$\lim_{x \to 1^+} y(x) = \lim_{x \to 1^+} (x + 1) = 1 + 1 = 2$.

Так как значение функции в точке $x=1$ совпадает с левым и правым пределами ($y(1) = \lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^+} y(x) = 2$), функция является непрерывной в этой точке.

Ответ: Функция непрерывна на всей своей области определения $[-1, 3]$.

3. Нахождение промежутков монотонности и точек экстремума

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума, найдем производную функции на каждом из интервалов.

На интервале $(-1, 1)$:

$y' = (4 - 2x^2)' = -4x$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $-4x = 0 \implies x = 0$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые точка $x=0$ делит промежуток $(-1, 1)$:
- Если $x \in (-1, 0)$, то $y' = -4x > 0$, следовательно, функция возрастает на отрезке $[-1, 0]$.
- Если $x \in (0, 1)$, то $y' = -4x < 0$, следовательно, функция убывает на отрезке $[0, 1]$.

Поскольку в точке $x=0$ производная меняет знак с "+" на "-", то $x=0$ является точкой локального максимума. Значение функции в этой точке: $y(0) = 4 - 2(0)^2 = 4$.

На интервале $(1, 3)$:

$y' = (x + 1)' = 1$.

Так как $y' = 1 > 0$ на всем интервале $(1, 3)$, функция строго возрастает на этом интервале. Учитывая непрерывность в точке $x=1$ и включенную правую границу, можно сказать, что функция возрастает на отрезке $[1, 3]$.

Рассмотрим точки "стыка" и концы отрезка области определения: $x = -1, x = 1, x = 3$.

- В точке $x=-1$ (левая граница). $y(-1)=2$. Справа от этой точки функция возрастает, следовательно, $x=-1$ — точка локального минимума.

- В точке $x=1$. $y(1)=2$. Слева от этой точки (на $[0, 1]$) функция убывает, а справа (на $[1, 3]$) — возрастает. Следовательно, $x=1$ — точка локального минимума.

- В точке $x=3$ (правая граница). $y(3)=3+1=4$. Слева от этой точки функция возрастает, следовательно, $x=3$ — точка локального максимума.

Ответ:
- Промежутки возрастания: $[-1, 0]$ и $[1, 3]$.
- Промежуток убывания: $[0, 1]$.
- Точки локального минимума: $x=-1$ (при $y=2$) и $x=1$ (при $y=2$).
- Точки локального максимума: $x=0$ (при $y=4$) и $x=3$ (при $y=4$).

4. Область значений функции

Область значений $E(y)$ — это множество всех значений, которые принимает функция. Чтобы найти его, нужно определить наименьшее и наибольшее значения функции на всей области определения. Эти значения достигаются либо в точках экстремума, либо на концах области определения.

Из предыдущего пункта мы нашли все локальные минимумы и максимумы:

Наименьшее значение функции (абсолютный минимум): $y_{min} = y(-1) = y(1) = 2$.

Наибольшее значение функции (абсолютный максимум): $y_{max} = y(0) = y(3) = 4$.

Так как функция непрерывна на отрезке $[-1, 3]$, она принимает все значения между своим наименьшим и наибольшим значениями.

Ответ: Область значений функции — отрезок $[2, 4]$.

5. Построение графика

Для построения графика используем все полученные данные.

1. На отрезке $[-1, 1]$ строим график параболы $y = 4 - 2x^2$. Это дуга параболы с ветвями, направленными вниз. Ключевые точки:
- Левая граница: $(-1, 2)$.
- Вершина (локальный максимум): $(0, 4)$.
- Правая граница: $(1, 2)$.

2. На отрезке $[1, 3]$ строим график прямой $y = x + 1$. Это отрезок прямой. Ключевые точки:
- Левая граница: $(1, 2)$.
- Правая граница (локальный максимум): $(3, 4)$.

3. Соединяем эти две части. В точке $(1, 2)$ график не имеет разрыва, происходит плавный переход от убывания к возрастанию, образуя точку минимума.

Ответ: График функции состоит из двух частей, соединенных в точке $(1, 2)$. Первая часть — это дуга параболы с вершиной в точке $(0, 4)$, проходящая через точки $(-1, 2)$ и $(1, 2)$. Вторая часть — это отрезок прямой, соединяющий точки $(1, 2)$ и $(3, 4)$.