Номер 10.9, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

10.9 a) $y = -x^2 + 4x - 5, x \ge 0;$

б) $y = x^2 - 4x + 1, x \le 0;$

в) $y = 2x^2 - 6x + 3, x \ge 0;$

г) $y = -3x^2 + 6x + 2, x \le 0.$

а) $y = -x^2 + 4x - 5$, $x \ge 0$

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -1, он отрицателен, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Наибольшее значение функция достигает в вершине.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_v = -b/(2a)$:

$x_v = -4 / (2 \cdot (-1)) = 2$.

Абсцисса вершины $x_v = 2$ принадлежит заданному промежутку $x \ge 0$.

Найдем ординату вершины, которая является наибольшим значением функции:

$y_v = y(2) = -(2)^2 + 4(2) - 5 = -4 + 8 - 5 = -1$.

Поскольку вершина находится в рассматриваемой области, а ветви направлены вниз, то наибольшее значение функции на промежутке $[0, \infty)$ равно $-1$. Когда $x$ стремится к бесконечности, $y$ стремится к минус бесконечности. Следовательно, область значений функции — это все числа от $-\infty$ до $-1$ включительно.

Ответ: $E(y) = (-\infty, -1]$.

б) $y = x^2 - 4x + 1$, $x \le 0$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, он положителен, значит, ветви параболы направлены вверх. Наименьшее значение функция достигает в вершине.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_v = -(-4) / (2 \cdot 1) = 2$.

Абсцисса вершины $x_v = 2$ не принадлежит заданному промежутку $x \le 0$.

Вершина параболы находится правее рассматриваемого промежутка $(-\infty, 0]$. На всем этом промежутке функция является монотонно убывающей (так как она убывает для всех $x < x_v$).

Следовательно, наименьшее значение на промежутке $(-\infty, 0]$ функция принимает на его правой границе, то есть при $x = 0$.

$y(0) = 0^2 - 4(0) + 1 = 1$.

Когда $x$ стремится к минус бесконечности, $y$ стремится к плюс бесконечности. Таким образом, область значений функции — это все числа от $1$ включительно до $+\infty$.

Ответ: $E(y) = [1, \infty)$.

в) $y = 2x^2 - 6x + 3$, $x \ge 0$

Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 2, он положительный). Наименьшее значение функция достигает в вершине.

Найдем абсциссу вершины:

$x_v = -(-6) / (2 \cdot 2) = 6/4 = 1.5$.

Абсцисса вершины $x_v = 1.5$ принадлежит заданному промежутку $x \ge 0$.

Найдем ординату вершины, которая является наименьшим значением функции:

$y_v = y(1.5) = 2(1.5)^2 - 6(1.5) + 3 = 2(2.25) - 9 + 3 = 4.5 - 9 + 3 = -1.5$.

Поскольку вершина находится в рассматриваемой области, а ветви направлены вверх, то наименьшее значение функции на промежутке $[0, \infty)$ равно $-1.5$. Когда $x$ стремится к бесконечности, $y$ стремится к плюс бесконечности. Следовательно, область значений функции — это все числа от $-1.5$ включительно до $+\infty$.

Ответ: $E(y) = [-1.5, \infty)$.

г) $y = -3x^2 + 6x + 2$, $x \le 0$

Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен -3, он отрицательный). Наибольшее значение функция достигает в вершине.

Найдем абсциссу вершины:

$x_v = -6 / (2 \cdot (-3)) = -6 / (-6) = 1$.

Абсцисса вершины $x_v = 1$ не принадлежит заданному промежутку $x \le 0$.

Вершина параболы находится правее рассматриваемого промежутка $(-\infty, 0]$. На всем этом промежутке функция является монотонно возрастающей (так как она возрастает для всех $x < x_v$).

Следовательно, наибольшее значение на промежутке $(-\infty, 0]$ функция принимает на его правой границе, то есть при $x=0$.

$y(0) = -3(0)^2 + 6(0) + 2 = 2$.

Когда $x$ стремится к минус бесконечности, $y$ стремится к минус бесконечности. Таким образом, область значений функции — это все числа от $-\infty$ до $2$ включительно.

Ответ: $E(y) = (-\infty, 2]$.