Номер 10.4, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Используя свойства числовых неравенств, докажите, что заданная функция убывает:

10.4 a) $y = -5x;$

б) $y = 5 - 2x;$

в) $y = -7x + 1;$

г) $y = 4 - \frac{x}{3}.$

Функция называется убывающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из её области определения, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Для доказательства мы будем использовать это определение и свойства числовых неравенств.

а) $y = -5x$

Пусть $x_1$ и $x_2$ – два произвольных числа из области определения функции, причем $x_1 < x_2$.
Сравним значения функции в этих точках: $y(x_1) = -5x_1$ и $y(x_2) = -5x_2$.
Начнем с неравенства $x_1 < x_2$. Умножим обе его части на отрицательное число $-5$. По свойству числовых неравенств, при умножении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$-5x_1 > -5x_2$.
Это означает, что $y(x_1) > y(x_2)$.
Поскольку для любого $x_1 < x_2$ выполняется $y(x_1) > y(x_2)$, данная функция является убывающей.
Ответ: Доказано, что функция $y = -5x$ является убывающей.

б) $y = 5 - 2x$

Пусть $x_1$ и $x_2$ – два произвольных числа, для которых выполняется $x_1 < x_2$.
Сравним значения $y(x_1) = 5 - 2x_1$ и $y(x_2) = 5 - 2x_2$.
Начнем с неравенства $x_1 < x_2$. Умножим обе части на $-2$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$-2x_1 > -2x_2$.
Теперь прибавим к обеим частям неравенства число 5. Это преобразование не меняет знак неравенства:
$5 - 2x_1 > 5 - 2x_2$.
Таким образом, мы получили, что $y(x_1) > y(x_2)$.
Следовательно, функция является убывающей.
Ответ: Доказано, что функция $y = 5 - 2x$ является убывающей.

в) $y = -7x + 1$

Пусть $x_1 < x_2$.
Сравним значения $y(x_1) = -7x_1 + 1$ и $y(x_2) = -7x_2 + 1$.
Из неравенства $x_1 < x_2$ после умножения на $-7$ получаем:
$-7x_1 > -7x_2$.
Прибавив к обеим частям 1, сохраняем знак неравенства:
$-7x_1 + 1 > -7x_2 + 1$.
Следовательно, $y(x_1) > y(x_2)$, что доказывает, что функция является убывающей.
Ответ: Доказано, что функция $y = -7x + 1$ является убывающей.

г) $y = 4 - \frac{x}{3}$

Данную функцию можно представить в виде $y = -\frac{1}{3}x + 4$.
Пусть $x_1 < x_2$.
Сравним значения $y(x_1) = 4 - \frac{x_1}{3}$ и $y(x_2) = 4 - \frac{x_2}{3}$.
Умножим обе части неравенства $x_1 < x_2$ на отрицательное число $-\frac{1}{3}$. Знак неравенства изменится:
$-\frac{1}{3}x_1 > -\frac{1}{3}x_2$.
Прибавим к обеим частям число 4. Знак неравенства не изменится:
$4 - \frac{1}{3}x_1 > 4 - \frac{1}{3}x_2$, что равносильно $4 - \frac{x_1}{3} > 4 - \frac{x_2}{3}$.
Таким образом, $y(x_1) > y(x_2)$, и функция является убывающей.
Ответ: Доказано, что функция $y = 4 - \frac{x}{3}$ является убывающей.