Номер 10.6, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

10.6 a) $y = x^2, x \le 0$;

б) $y = -2x^2, x \ge 0$;

в) $y = \frac{3}{x}, x > 0$;

г) $y = \frac{3}{x}, x < 0$.

а) Исходная функция $y = x^2$ задана на промежутке $x \le 0$. Чтобы найти обратную функцию, необходимо выразить $x$ через $y$. Перед этим определим область значений исходной функции. Поскольку $x$ принимает неположительные значения ($x \le 0$), его квадрат $x^2$ будет принимать неотрицательные значения ($x^2 \ge 0$). Таким образом, область значений функции $y = x^2$ при $x \le 0$ есть промежуток $y \ge 0$.
Теперь выразим $x$ из уравнения $y = x^2$. Получаем $x = \pm\sqrt{y}$. Согласно условию $x \le 0$, мы должны выбрать знак "минус". Следовательно, $x = -\sqrt{y}$.
Для получения обратной функции поменяем местами переменные $x$ и $y$: $y = -\sqrt{x}$.
Областью определения обратной функции является область значений исходной функции, то есть $x \ge 0$. Областью значений обратной функции является область определения исходной функции, то есть $y \le 0$.
Ответ: $y = -\sqrt{x}$.

б) Исходная функция $y = -2x^2$ задана на промежутке $x \ge 0$. Определим область значений этой функции. Поскольку $x \ge 0$, то $x^2 \ge 0$, а выражение $-2x^2$ будет принимать неположительные значения, то есть $-2x^2 \le 0$. Таким образом, область значений функции $y = -2x^2$ при $x \ge 0$ есть промежуток $y \le 0$.
Выразим $x$ из уравнения $y = -2x^2$. Получаем $x^2 = -\frac{y}{2}$. Отсюда $x = \pm\sqrt{-\frac{y}{2}}$. Так как по условию $x \ge 0$, мы должны выбрать знак "плюс": $x = \sqrt{-\frac{y}{2}}$.
Поменяв местами $x$ и $y$, получаем обратную функцию: $y = \sqrt{-\frac{x}{2}}$.
Область определения обратной функции: $x \le 0$. Область значений обратной функции: $y \ge 0$.
Ответ: $y = \sqrt{-\frac{x}{2}}$.

в) Исходная функция $y = \frac{3}{x}$ задана на промежутке $x > 0$. Так как числитель (3) положителен и знаменатель $x$ положителен, то и значение функции $y$ будет положительным. Таким образом, область значений функции есть промежуток $y > 0$.
Выразим $x$ из уравнения $y = \frac{3}{x}$. Умножив обе части на $x$ (что возможно, так как $x \ne 0$), получим $xy = 3$. Отсюда $x = \frac{3}{y}$.
Поменяв местами $x$ и $y$, получаем обратную функцию: $y = \frac{3}{x}$.
Область определения обратной функции ($x > 0$) совпадает с областью значений исходной, а область значений ($y > 0$) - с областью определения исходной.
Ответ: $y = \frac{3}{x}$.

г) Исходная функция $y = \frac{3}{x}$ задана на промежутке $x < 0$. Так как числитель (3) положителен, а знаменатель $x$ отрицателен, то значение функции $y$ будет отрицательным. Таким образом, область значений функции есть промежуток $y < 0$.
Процесс нахождения обратной функции алгебраически не отличается от предыдущего пункта. Выражаем $x$ через $y$: $x = \frac{3}{y}$.
Меняем местами $x$ и $y$: $y = \frac{3}{x}$.
Областью определения обратной функции является область значений исходной функции, то есть $x < 0$. Областью значений обратной функции является область определения исходной функции, то есть $y < 0$.
Ответ: $y = \frac{3}{x}$.