Номер 10.10, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

10.10 Докажите ограниченность функции:

а) $y = \sqrt{15 - x^2}$;

б) $y = -\sqrt{16 - x^4}$.

а) $y = \sqrt{15 - x^2}$

Функция называется ограниченной, если ее множество значений является ограниченным множеством. Это означает, что существуют такие числа $m$ и $M$, что для всех значений $x$ из области определения функции выполняется неравенство $m \le y(x) \le M$.

1. Найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$15 - x^2 \ge 0$

$x^2 \le 15$

$-\sqrt{15} \le x \le \sqrt{15}$

Следовательно, область определения функции $D(y) = [-\sqrt{15}; \sqrt{15}]$.

2. Найдем множество значений функции, чтобы определить ее границы.

С одной стороны, по определению арифметического квадратного корня, его значение всегда неотрицательно. Следовательно, $y = \sqrt{15 - x^2} \ge 0$ для всех $x$ из области определения. Это означает, что функция ограничена снизу числом 0. Наименьшее значение $y=0$ достигается при $15 - x^2 = 0$, то есть при $x = \pm\sqrt{15}$.

С другой стороны, найдем наибольшее значение функции. Функция $y$ принимает максимальное значение, когда подкоренное выражение $15 - x^2$ максимально. Выражение $15 - x^2$ максимально, когда вычитаемое $x^2$ минимально. Поскольку $x^2 \ge 0$, его минимальное значение равно 0, которое достигается при $x=0$.

Максимальное значение функции равно:

$y_{max} = y(0) = \sqrt{15 - 0^2} = \sqrt{15}$.

Таким образом, для любого $x$ из области определения функции выполняется двойное неравенство:

$0 \le y \le \sqrt{15}$

Поскольку функция ограничена и снизу (числом 0), и сверху (числом $\sqrt{15}$), она является ограниченной.

Ответ: функция ограничена, так как ее множество значений $E(y) = [0; \sqrt{15}]$.

б) $y = -\sqrt{16 - x^4}$

1. Найдем область определения функции. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$16 - x^4 \ge 0$

$x^4 \le 16$

Так как $x^4 = (x^2)^2$, получаем $(x^2)^2 \le 16$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $x^2 \le 4$.

Отсюда следует, что $-2 \le x \le 2$.

Область определения функции $D(y) = [-2; 2]$.

2. Найдем множество значений функции.

Выражение $\sqrt{16 - x^4}$ по определению арифметического корня всегда неотрицательно: $\sqrt{16 - x^4} \ge 0$.

Так как перед корнем стоит знак "минус", значения функции $y$ будут неположительными: $y = -\sqrt{16 - x^4} \le 0$. Это означает, что функция ограничена сверху числом 0. Наибольшее значение $y=0$ достигается при $16 - x^4 = 0$, то есть при $x = \pm2$.

Для нахождения нижней границы найдем минимальное значение функции. Функция $y$ принимает минимальное значение, когда выражение $\sqrt{16 - x^4}$ максимально. Это произойдет, когда подкоренное выражение $16 - x^4$ максимально. Выражение $16 - x^4$ максимально, когда вычитаемое $x^4$ минимально. Поскольку $x^4 \ge 0$, его минимальное значение равно 0, которое достигается при $x=0$.

Минимальное значение функции равно:

$y_{min} = y(0) = -\sqrt{16 - 0^4} = -\sqrt{16} = -4$.

Таким образом, для любого $x$ из области определения функции выполняется двойное неравенство:

$-4 \le y \le 0$

Поскольку функция ограничена и снизу (числом -4), и сверху (числом 0), она является ограниченной.

Ответ: функция ограничена, так как ее множество значений $E(y) = [-4; 0]$.