Номер 10.16, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

10.16 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 4x + 2, & \text{если } -2 \le x \le 0; \\ x + 1, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

a) Найдите: $f(-3); f(0); f(5);$

б) постройте график функции $y = f(x);$

в) перечислите свойства функции.

а) Найдите: f(-3); f(0); f(5);

Дана кусочно-заданная функция $f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 4x + 2, & \text{если } -2 \le x \le 0 \\ x+1, & \text{если } x > 0 \end{cases}$.

1. Чтобы найти $f(-3)$, нужно определить, какому условию удовлетворяет $x=-3$. Поскольку $-3$ не удовлетворяет ни условию $-2 \le x \le 0$, ни условию $x > 0$, точка $x=-3$ не входит в область определения функции.

2. Чтобы найти $f(0)$, используем первую формулу, так как $x=0$ удовлетворяет условию $-2 \le x \le 0$.
$f(0) = 2(0)^2 + 4(0) + 2 = 0 + 0 + 2 = 2$.

3. Чтобы найти $f(5)$, используем вторую формулу, так как $x=5$ удовлетворяет условию $x > 0$.
$f(5) = 5 + 1 = 6$.

Ответ: $f(-3)$ не определено; $f(0) = 2$; $f(5) = 6$.

б) постройте график функции y = f(x);

График функции состоит из двух частей.

1. На промежутке $[-2, 0]$ строим график функции $y = 2x^2 + 4x + 2$. Это парабола. Преобразуем формулу, выделив полный квадрат: $y = 2(x^2 + 2x + 1) = 2(x+1)^2$.
Вершина этой параболы находится в точке $(-1, 0)$. Ветви параболы направлены вверх. Найдем значения на концах отрезка:

• $f(-2) = 2(-2+1)^2 = 2$. Точка $(-2, 2)$.
• $f(0) = 2(0+1)^2 = 2$. Точка $(0, 2)$.

Таким образом, на отрезке $[-2, 0]$ график представляет собой дугу параболы с вершиной в $(-1, 0)$ и проходящую через точки $(-2, 2)$ и $(0, 2)$. Концевые точки включены.

2. На промежутке $(0, +\infty)$ строим график функции $y = x+1$. Это прямая линия (луч).
Поскольку $x>0$, точка с абсциссой $x=0$ не входит в эту часть графика. Найдем координату начальной точки луча, которая будет "выколотой": при $x \to 0^+$, $y \to 1$. Значит, луч начинается в точке $(0, 1)$, которая не принадлежит графику.
Для построения луча найдем еще одну точку, например, при $x=1$: $y = 1+1=2$. Точка $(1, 2)$.
Таким образом, на интервале $(0, +\infty)$ график — это луч, выходящий из точки $(0, 1)$ и проходящий через точку $(1, 2)$.

В результате получаем график, состоящий из дуги параболы на отрезке $[-2, 0]$ и луча для $x>0$. В точке $x=0$ происходит разрыв.

Ответ: График состоит из дуги параболы $y=2(x+1)^2$ на отрезке $[-2, 0]$ и луча $y=x+1$ на интервале $(0, +\infty)$.

в) перечислите свойства функции.

1. Область определения: $D(f) = [-2, 0] \cup (0, +\infty) = [-2, +\infty)$.

2. Область значений: На промежутке $[-2, 0]$ значения функции принадлежат отрезку $[0, 2]$. На промежутке $(0, +\infty)$ значения принадлежат интервалу $(1, +\infty)$. Объединение этих множеств дает область значений $E(f) = [0, +\infty)$.

3. Четность и нечетность: Область определения функции несимметрична относительно начала координат, поэтому функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

4. Нули функции: $f(x) = 0$ при $2(x+1)^2 = 0$, откуда $x=-1$. Этот корень принадлежит области определения. Таким образом, у функции один нуль: $x=-1$.

5. Промежутки знакопостоянства: Так как $f(x) \ge 0$ для всех $x$ из области определения, функция неотрицательна. $f(x) > 0$ при $x \in [-2, -1) \cup (-1, +\infty)$.

6. Промежутки монотонности:
- функция убывает на промежутке $[-2, -1]$;
- функция возрастает на промежутках $[-1, 0]$ и $(0, +\infty)$.

7. Экстремумы функции:
- $x=-1$ — точка минимума (глобального). $y_{min} = f(-1) = 0$.
- $x=-2$ — точка локального максимума. $f(-2) = 2$.
- $x=0$ — точка локального максимума. $f(0) = 2$.
- Глобального максимума нет.

8. Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения за исключением точки $x=0$. В точке $x=0$ функция терпит разрыв первого рода (скачок), так как $\lim_{x\to 0^-} f(x) = 2$, а $\lim_{x\to 0^+} f(x) = 1$.

Ответ: Свойства функции (область определения и значений, четность, нули, знакопостоянство, монотонность, экстремумы, непрерывность) подробно описаны выше.