Номер 10.18, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Докажите, что функция возрастает:

10.18 a) $y = x^3 + 3x;$

б) $y = x^4 + 3x, x \ge 0;$

в) $y = 2x^3 + x;$

г) $y = 2x^4 + x, x \ge 0;$

а) $y = x^3 + 3x$

Для доказательства того, что функция возрастает, найдем ее производную. Функция является возрастающей на промежутке, если ее производная на этом промежутке положительна.

Найдем производную функции $y(x) = x^3 + 3x$:

$y' = (x^3 + 3x)' = (x^3)' + (3x)' = 3x^2 + 3$.

Проанализируем знак производной $y' = 3x^2 + 3$. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного числа $x$, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, $3x^2 \ge 0$.

Тогда $y' = 3x^2 + 3 \ge 3$, что означает, что производная всегда строго положительна ($y' > 0$) для любого значения $x$.

Поскольку производная функции положительна на всей области определения, функция $y = x^3 + 3x$ является возрастающей на всей числовой оси.

Ответ: Функция возрастает на всей числовой оси, так как ее производная $y' = 3x^2 + 3$ всегда положительна.

б) $y = x^4 + 3x, x \ge 0$

Найдем производную функции $y(x) = x^4 + 3x$ для исследования на монотонность:

$y' = (x^4 + 3x)' = (x^4)' + (3x)' = 4x^3 + 3$.

Проанализируем знак производной $y' = 4x^3 + 3$ на заданном промежутке $x \ge 0$.

Если $x \ge 0$, то $x^3 \ge 0$, и следовательно $4x^3 \ge 0$.

Тогда $y' = 4x^3 + 3 \ge 3$, то есть производная строго положительна ($y' > 0$) для всех $x \ge 0$.

Так как производная функции положительна на промежутке $[0, +\infty)$, функция $y = x^4 + 3x$ возрастает при $x \ge 0$.

Ответ: Функция возрастает при $x \ge 0$, так как ее производная $y' = 4x^3 + 3$ положительна на этом промежутке.

в) $y = 2x^3 + x$

Найдем производную функции $y(x) = 2x^3 + x$:

$y' = (2x^3 + x)' = (2x^3)' + (x)' = 2 \cdot 3x^2 + 1 = 6x^2 + 1$.

Проанализируем знак производной $y' = 6x^2 + 1$. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, $x^2 \ge 0$. Следовательно, $6x^2 \ge 0$.

Тогда $y' = 6x^2 + 1 \ge 1$, то есть производная всегда строго положительна ($y' > 0$) для всех $x$ из области определения функции.

Поскольку производная функции положительна на всей числовой оси, функция $y = 2x^3 + x$ возрастает на всей области определения.

Ответ: Функция возрастает на всей числовой оси, так как ее производная $y' = 6x^2 + 1$ всегда положительна.

г) $y = 2x^4 + x, x \ge 0$

Найдем производную функции $y(x) = 2x^4 + x$:

$y' = (2x^4 + x)' = (2x^4)' + (x)' = 2 \cdot 4x^3 + 1 = 8x^3 + 1$.

Проанализируем знак производной $y' = 8x^3 + 1$ на заданном промежутке $x \ge 0$.

Если $x \ge 0$, то $x^3 \ge 0$, и следовательно $8x^3 \ge 0$.

Тогда $y' = 8x^3 + 1 \ge 1$, то есть производная строго положительна ($y' > 0$) для всех $x \ge 0$.

Так как производная функции положительна на промежутке $[0, +\infty)$, функция $y = 2x^4 + x$ возрастает при $x \ge 0$.

Ответ: Функция возрастает при $x \ge 0$, так как ее производная $y' = 8x^3 + 1$ положительна на этом промежутке.