Номер 10.11, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

10.11 a) $y = 2x + 3, x \in [0; 1];$

б) $y = -2x^2, x \in [-1; 1];$

в) $y = -4x + 1, x \in (-\infty; 0];$

г) $y = \frac{1}{2}x^2, x \in (0; 2].$

а) Функция $y = 2x + 3$ является линейной. Её угловой коэффициент $k = 2 > 0$, следовательно, функция является возрастающей на всей числовой оси, а значит и на отрезке $[0; 1]$. В таком случае наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.
Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наименьшее значение при $x = 0$: $y_{наим} = 2 \cdot 0 + 3 = 3$.
Наибольшее значение при $x = 1$: $y_{наиб} = 2 \cdot 1 + 3 = 5$.
Ответ: наименьшее значение функции равно 3, наибольшее значение равно 5.

б) Функция $y = -2x^2$ является квадратичной. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-2 < 0$). Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_v = 0$. Поскольку точка $x=0$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$, в ней функция достигает своего наибольшего значения.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = -2 \cdot 0^2 = 0$.
Наименьшее значение будет достигаться на концах отрезка, наиболее удаленных от вершины. Вычислим значения в точках $x=-1$ и $x=1$:
$y(-1) = -2(-1)^2 = -2$.
$y(1) = -2(1)^2 = -2$.
Следовательно, наименьшее значение функции равно -2.
Ответ: наименьшее значение функции равно -2, наибольшее значение равно 0.

в) Функция $y = -4x + 1$ является линейной. Её угловой коэффициент $k = -4 < 0$, следовательно, функция является убывающей на всей числовой оси, в том числе на промежутке $(-\infty; 0]$. Так как функция убывает, она не ограничена сверху на этом промежутке (при $x \to -\infty$, значение $y \to +\infty$), поэтому наибольшего значения не существует. Наименьшее значение функция принимает в самой правой точке области определения, то есть при $x=0$.
Вычислим это значение:
$y_{наим} = y(0) = -4 \cdot 0 + 1 = 1$.
Ответ: наименьшее значение функции равно 1, наибольшего значения не существует.

г) Функция $y = \frac{1}{2}x^2$ является квадратичной. Её график — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($\frac{1}{2} > 0$). Вершина параболы находится в точке $x_v = 0$. На промежутке $(0; 2]$, который находится правее вершины, функция является возрастающей. Наибольшее значение достигается в правой границе промежутка, в точке $x=2$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$.
Левая граница $x=0$ не включена в промежуток. При приближении $x$ к 0 справа, значение функции $y$ стремится к $y(0)=0$, но никогда его не достигает. Таким образом, у функции на данном промежутке нет наименьшего значения.
Ответ: наибольшее значение функции равно 2, наименьшего значения не существует.