Номер 10.12, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

10.12 $y = \sqrt{x}$, если:

a) $x \in [0; +\infty)$;

б) $x \in [0; 3];

в) $x \in [1; 4];

г) $x \in (0; 2].

а) Для функции $y = \sqrt{x}$, если $x \in [0; +\infty)$, мы ищем множество всех возможных значений $y$. Функция $y = \sqrt{x}$ является монотонно возрастающей для всех $x$ из своей области определения, то есть для $x \ge 0$. Это означает, что с увеличением $x$ значение $y$ также увеличивается. Найдем наименьшее значение функции. Оно достигается при наименьшем значении $x$, то есть при $x = 0$. $y_{min} = \sqrt{0} = 0$. Поскольку $x$ может принимать сколь угодно большие значения (стремится к $+\infty$), значение $y = \sqrt{x}$ также будет неограниченно возрастать. Таким образом, множество значений функции (область значений) на данном промежутке — это все неотрицательные числа.
Ответ: $y \in [0; +\infty)$.

б) Для функции $y = \sqrt{x}$ на отрезке $x \in [0; 3]$. Поскольку функция $y = \sqrt{x}$ монотонно возрастает, ее наименьшее и наибольшее значения на отрезке достигаются на его концах. Наименьшее значение функции соответствует наименьшему значению $x$: при $x = 0$, $y = \sqrt{0} = 0$. Наибольшее значение функции соответствует наибольшему значению $x$: при $x = 3$, $y = \sqrt{3}$. Так как функция непрерывна и определена на замкнутом интервале (отрезке), она принимает все значения между своим наименьшим и наибольшим значением.
Ответ: $y \in [0; \sqrt{3}]$.

в) Для функции $y = \sqrt{x}$ на отрезке $x \in [1; 4]$. Функция $y = \sqrt{x}$ монотонно возрастает на данном отрезке. Найдем значения функции на концах отрезка, чтобы определить границы множества значений. При $x = 1$, $y = \sqrt{1} = 1$. При $x = 4$, $y = \sqrt{4} = 2$. Множество значений функции на отрезке $[1; 4]$ будет отрезком от $1$ до $2$.
Ответ: $y \in [1; 2]$.

г) Для функции $y = \sqrt{x}$ на полуинтервале $x \in (0; 2]$. Функция $y = \sqrt{x}$ также монотонно возрастает на этом промежутке. Правая граница $x=2$ включена в промежуток, поэтому функция достигает своего наибольшего значения: при $x = 2$, $y = \sqrt{2}$. Левая граница $x=0$ не включена, то есть $x$ может быть сколь угодно близко к нулю, но всегда $x > 0$. Следовательно, значение $y = \sqrt{x}$ будет сколь угодно близко к $\sqrt{0} = 0$, но всегда будет строго больше нуля ($y > 0$). Таким образом, множество значений — это полуинтервал, открытый слева и закрытый справа.
Ответ: $y \in (0; \sqrt{2}]$.