Номер 10.7, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Для данной функции ответьте на вопрос, является ли она ограниченной снизу, ограниченной сверху, ограниченной:

10.7 а) $y = 7x + 2;$

б) $y = -3x + 1, x < 0;$

в) $y = 4x + 1, x > 0;$

г) $y = -2x + 5, 0 \leq x \leq 5.$

Функция $y = 7x + 2$ является линейной. Область определения функции не указана, поэтому по умолчанию считаем, что $x$ принадлежит множеству всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$. Угловой коэффициент $k=7$ положителен, следовательно, функция является строго возрастающей на всей области определения. При $x \to +\infty$, значение $y \to +\infty$. При $x \to -\infty$, значение $y \to -\infty$. Область значений функции — все действительные числа, то есть $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Это означает, что не существует такого числа $M$, что $y \le M$ для всех $x$ (функция не ограничена сверху), и не существует такого числа $m$, что $y \ge m$ для всех $x$ (функция не ограничена снизу).

Ответ: функция не ограничена снизу, не ограничена сверху, не ограничена.

Функция $y = -3x + 1$ является линейной и задана на промежутке $x < 0$, то есть на интервале $(-\infty; 0)$. Угловой коэффициент $k=-3$ отрицателен, следовательно, функция является строго убывающей. Найдём поведение функции на границах области определения. При $x$, стремящемся к 0 слева ($x \to 0^-$), значение функции стремится к $y \to -3 \cdot 0 + 1 = 1$. Поскольку функция убывающая, все её значения на интервале $(-\infty; 0)$ будут больше 1. При $x \to -\infty$, значение $y = -3x + 1 \to +\infty$. Таким образом, область значений функции $E(y) = (1; +\infty)$. Функция ограничена снизу, так как для всех $x < 0$ выполняется неравенство $y > 1$ (например, можно взять ограничивающее число $m=1$). Функция не ограничена сверху, так как её значения могут быть сколь угодно большими.

Ответ: функция ограничена снизу, не ограничена сверху, не ограничена.

Функция $y = 4x + 1$ является линейной и задана на промежутке $x > 0$, то есть на интервале $(0; +\infty)$. Угловой коэффициент $k=4$ положителен, следовательно, функция является строго возрастающей. Найдём поведение функции на границах области определения. При $x$, стремящемся к 0 справа ($x \to 0^+$), значение функции стремится к $y \to 4 \cdot 0 + 1 = 1$. Поскольку функция возрастающая, все её значения на интервале $(0; +\infty)$ будут больше 1. При $x \to +\infty$, значение $y = 4x + 1 \to +\infty$. Таким образом, область значений функции $E(y) = (1; +\infty)$. Функция ограничена снизу, так как для всех $x > 0$ выполняется неравенство $y > 1$ (например, можно взять ограничивающее число $m=1$). Функция не ограничена сверху, так как её значения могут быть сколь угодно большими.

Ответ: функция ограничена снизу, не ограничена сверху, не ограничена.

Функция $y = -2x + 5$ является линейной и задана на отрезке $0 \le x \le 5$, то есть $x \in [0; 5]$. Угловой коэффициент $k=-2$ отрицателен, следовательно, функция является строго убывающей на своей области определения. Так как функция непрерывна и задана на замкнутом отрезке, она достигает своих наибольшего и наименьшего значений на концах этого отрезка. Наибольшее значение достигается в левой точке отрезка: $y_{max} = y(0) = -2 \cdot 0 + 5 = 5$. Наименьшее значение достигается в правой точке отрезка: $y_{min} = y(5) = -2 \cdot 5 + 5 = -10 + 5 = -5$. Область значений функции — отрезок $E(y) = [-5; 5]$. Так как все значения функции лежат в пределах от -5 до 5, то есть $-5 \le y \le 5$, функция является ограниченной и снизу (числом -5), и сверху (числом 5). Следовательно, функция является ограниченной.

Ответ: функция ограничена снизу, ограничена сверху, ограничена.