Номер 9.21, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

9.21 a) $y = \sqrt{[x]}$;

б) $y = [\sqrt{x}].

a) $y = \sqrt{[x]}$

В этой задаче $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ (функция «пол», или «антье»), то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[3.7] = 3$, $[5] = 5$, $[-1.2] = -2$.

1. Область определения функции (ОДЗ).
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $$ [x] \ge 0 $$ Поскольку $[x]$ является целым числом, это означает, что $[x]$ может принимать значения $0, 1, 2, 3, \dots$. Условие $[x] \ge 0$ выполняется тогда и только тогда, когда $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = [0, +\infty)$.

2. Построение графика и область значений.
Функция является кусочно-постоянной (ступенчатой). Значение $y$ постоянно на каждом интервале вида $[n, n+1)$, где $n$ — целое неотрицательное число. Рассмотрим несколько таких интервалов:
- При $x \in [0, 1)$, имеем $[x] = 0$, следовательно, $y = \sqrt{0} = 0$.
- При $x \in [1, 2)$, имеем $[x] = 1$, следовательно, $y = \sqrt{1} = 1$.
- При $x \in [2, 3)$, имеем $[x] = 2$, следовательно, $y = \sqrt{2}$.
- При $x \in [3, 4)$, имеем $[x] = 3$, следовательно, $y = \sqrt{3}$.
- При $x \in [4, 5)$, имеем $[x] = 4$, следовательно, $y = \sqrt{4} = 2$.
В общем случае, для любого целого неотрицательного числа $n$, на промежутке $x \in [n, n+1)$ функция принимает постоянное значение $y = \sqrt{n}$. График функции состоит из набора горизонтальных отрезков. Для каждого интервала $[n, n+1)$ левая точка $(n, \sqrt{n})$ включается в график, а правая точка $(n+1, \sqrt{n})$ — не включается.

Область значений функции — это множество значений, которые она принимает: $E(y) = \{0, 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2, \dots \}$, то есть $E(y) = \{\sqrt{n} \mid n \in \mathbb{Z}, n \ge 0\}$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{[x]}$ является ступенчатой функцией, определённой при $x \ge 0$. Он состоит из горизонтальных отрезков; на каждом промежутке $[n, n+1)$, где $n$ — целое неотрицательное число, функция постоянна и равна $y = \sqrt{n}$.

б) $y = [\sqrt{x}]$

В этой функции сначала вычисляется квадратный корень из $x$, а затем от результата берётся целая часть.

1. Область определения функции (ОДЗ).
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $$ x \ge 0 $$ Таким образом, область определения функции: $D(y) = [0, +\infty)$.

2. Построение графика и область значений.
Эта функция также является кусочно-постоянной (ступенчатой). Значение $y$ меняется, когда $\sqrt{x}$ становится равным целому числу. Пусть $y=k$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число. Тогда по определению целой части: $$ k \le \sqrt{x} < k+1 $$ Поскольку все части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат: $$ k^2 \le x < (k+1)^2 $$ Это неравенство определяет, на каком промежутке по оси $x$ функция принимает значение $k$.
Рассмотрим значения $y$ для разных $k$:
- Если $y = 0$, то $0 \le \sqrt{x} < 1$, откуда $0 \le x < 1$.
- Если $y = 1$, то $1 \le \sqrt{x} < 2$, откуда $1 \le x < 4$.
- Если $y = 2$, то $2 \le \sqrt{x} < 3$, откуда $4 \le x < 9$.
- Если $y = 3$, то $3 \le \sqrt{x} < 4$, откуда $9 \le x < 16$.
В общем случае, для любого целого неотрицательного числа $k$, функция принимает постоянное значение $y = k$ на промежутке $x \in [k^2, (k+1)^2)$. График функции состоит из набора горизонтальных отрезков. Для каждого $k \ge 0$ на промежутке $[k^2, (k+1)^2)$ левая точка $(k^2, k)$ включается в график, а правая точка $((k+1)^2, k)$ — не включается. Длина этих отрезков увеличивается: $(k+1)^2 - k^2 = 2k+1$.

Область значений функции — это множество всех неотрицательных целых чисел: $E(y) = \{0, 1, 2, 3, \dots\} = \mathbb{Z}_{\ge 0}$.

Ответ: График функции $y = [\sqrt{x}]$ является ступенчатой функцией, определённой при $x \ge 0$. Он состоит из горизонтальных отрезков; на каждом промежутке $[k^2, (k+1)^2)$, где $k$ — целое неотрицательное число, функция постоянна и равна $y = k$.