Номер 9.19, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

9.19 Функция $y = f(x)$ задана на множестве всех целых чисел с помощью следующего правила: каждому числу $x$ ставится в соответствие цифра единиц квадрата числа $x$. Найдите область значений этой функции.

По условию, функция $y = f(x)$ сопоставляет каждому целому числу $x$ цифру единиц его квадрата $x^2$. Область определения функции — множество всех целых чисел ($\mathbb{Z}$). Нам необходимо найти область значений функции, то есть множество всех возможных значений, которые может принимать $y$.

Цифра, на которую оканчивается квадрат целого числа ($x^2$), определяется исключительно цифрой, на которую оканчивается само число $x$. Любое целое число может оканчиваться на одну из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Проанализируем, на какую цифру будет оканчиваться квадрат числа в каждом из этих случаев.

• Если последняя цифра числа $x$ равна 0, то последняя цифра $x^2$ будет такой же, как у $0^2 = 0$. Значение функции: 0.
• Если последняя цифра числа $x$ равна 1, то последняя цифра $x^2$ будет такой же, как у $1^2 = 1$. Значение функции: 1.
• Если последняя цифра числа $x$ равна 2, то последняя цифра $x^2$ будет такой же, как у $2^2 = 4$. Значение функции: 4.
• Если последняя цифра числа $x$ равна 3, то последняя цифра $x^2$ будет такой же, как у $3^2 = 9$. Значение функции: 9.
• Если последняя цифра числа $x$ равна 4, то последняя цифра $x^2$ будет такой же, как у $4^2 = 16$, то есть 6. Значение функции: 6.
• Если последняя цифра числа $x$ равна 5, то последняя цифра $x^2$ будет такой же, как у $5^2 = 25$, то есть 5. Значение функции: 5.
• Если последняя цифра числа $x$ равна 6, то последняя цифра $x^2$ будет такой же, как у $6^2 = 36$, то есть 6. Значение функции: 6.
• Если последняя цифра числа $x$ равна 7, то последняя цифра $x^2$ будет такой же, как у $7^2 = 49$, то есть 9. Значение функции: 9.
• Если последняя цифра числа $x$ равна 8, то последняя цифра $x^2$ будет такой же, как у $8^2 = 64$, то есть 4. Значение функции: 4.
• Если последняя цифра числа $x$ равна 9, то последняя цифра $x^2$ будет такой же, как у $9^2 = 81$, то есть 1. Значение функции: 1.

Соберем все уникальные значения, которые может принимать функция $f(x)$. Это цифры: 0, 1, 4, 5, 6, 9.

Таким образом, область значений функции $E(f)$ — это множество, состоящее из этих цифр.

Ответ: $E(f) = \{0, 1, 4, 5, 6, 9\}$.