Номер 10.3, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

10.3 a) $y = x^2, x \ge 0;$

б) $y = -\frac{1}{x}, x < 0;$

В) $y = -\frac{1}{x}, x > 0;$

Г) $y = -3x^2, x \le 0.$

а) Исходная функция задана уравнением $y = x^2$ на области определения $x \ge 0$.

Для нахождения обратной функции нужно выразить $x$ через $y$, а затем поменять переменные местами. Область определения исходной функции станет областью значений обратной, а область значений исходной — областью определения обратной.

1. Найдём область значений исходной функции. Так как по условию $x \ge 0$, то $y = x^2$ будет принимать все значения от $0$ включительно и больше. Таким образом, область значений функции: $y \in [0; +\infty)$.

2. Выразим $x$ из уравнения $y = x^2$. Получаем $x = \pm\sqrt{y}$. Поскольку по условию $x \ge 0$, мы выбираем арифметический (неотрицательный) корень: $x = \sqrt{y}$.

3. Теперь поменяем переменные $x$ и $y$ местами, чтобы записать обратную функцию в стандартном виде $y = f^{-1}(x)$.

Получаем: $y = \sqrt{x}$.

Область определения обратной функции — это область значений исходной, то есть $x \ge 0$. Область значений обратной функции ($y \ge 0$) — это область определения исходной. Условия выполняются.

Ответ: $y = \sqrt{x}$

б) Исходная функция задана уравнением $y = -\frac{1}{x}$ на области определения $x < 0$.

1. Найдём область значений исходной функции. Если $x$ принимает отрицательные значения ($x < 0$), то $\frac{1}{x}$ также отрицательно. Следовательно, $y = -\frac{1}{x}$ будет положительным. При $x \to 0^-$ $y \to +\infty$, а при $x \to -\infty$ $y \to 0$. Таким образом, область значений функции: $y \in (0; +\infty)$, то есть $y > 0$.

2. Выразим $x$ из уравнения $y = -\frac{1}{x}$. Для этого сначала выразим $\frac{1}{x} = -y$, а затем $x = -\frac{1}{y}$.

3. Меняем переменные $x$ и $y$ местами:

$y = -\frac{1}{x}$.

Обратная функция имеет тот же вид, что и исходная. Однако её область определения — это область значений исходной функции, то есть $x > 0$.

Ответ: $y = -\frac{1}{x}$

в) Исходная функция задана уравнением $y = -\frac{1}{x^2}$ на области определения $x > 0$.

1. Найдём область значений исходной функции. Если $x > 0$, то $x^2 > 0$ и $\frac{1}{x^2} > 0$. Следовательно, $y = -\frac{1}{x^2}$ будет принимать только отрицательные значения. При $x \to 0^+$ $y \to -\infty$, а при $x \to +\infty$ $y \to 0$. Таким образом, область значений функции: $y \in (-\infty; 0)$, то есть $y < 0$.

2. Выразим $x$ из уравнения $y = -\frac{1}{x^2}$. Получаем $x^2 = -\frac{1}{y}$, откуда $x = \pm\sqrt{-\frac{1}{y}}$. Так как по условию $x > 0$, мы выбираем знак «+»: $x = \sqrt{-\frac{1}{y}}$.

3. Меняем переменные $x$ и $y$ местами:

$y = \sqrt{-\frac{1}{x}}$.

Область определения обратной функции — это область значений исходной: $x < 0$. Это условие также необходимо для того, чтобы выражение под корнем было положительным.

Ответ: $y = \sqrt{-\frac{1}{x}}$

г) Исходная функция задана уравнением $y = -3x^2$ на области определения $x \le 0$.

1. Найдём область значений исходной функции. Если $x \le 0$, то $x^2 \ge 0$. Следовательно, $y = -3x^2$ будет принимать неположительные значения. При $x=0$ $y=0$, а при $x \to -\infty$ $y \to -\infty$. Таким образом, область значений функции: $y \in (-\infty; 0]$, то есть $y \le 0$.

2. Выразим $x$ из уравнения $y = -3x^2$. Получаем $x^2 = -\frac{y}{3}$, откуда $x = \pm\sqrt{-\frac{y}{3}}$. Так как по условию $x \le 0$, мы выбираем знак «-»: $x = -\sqrt{-\frac{y}{3}}$.

3. Меняем переменные $x$ и $y$ местами:

$y = -\sqrt{-\frac{x}{3}}$.

Область определения обратной функции — это область значений исходной: $x \le 0$. Это условие также необходимо для того, чтобы выражение под корнем было неотрицательным.

Ответ: $y = -\sqrt{-\frac{x}{3}}$