Номер 10.2, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

10.2 a) $y = x^3;$

Б) $y = 2x^3;$

В) $y = x^3 + 1;$

Г) $y = \frac{x^3}{2}.$

а) $y = x^3$

1. Область определения функции.
Функция определена для всех действительных чисел. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нахождение производной.
Используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.
$y' = (x^3)' = 3x^2$.

3. Нахождение критических точек.
Критические точки – это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Производная $y' = 3x^2$ существует на всей области определения.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:
$3x^2 = 0$
$x^2 = 0$
$x = 0$.
Таким образом, имеется одна критическая точка $x=0$.

4. Определение промежутков монотонности.
Критическая точка $x=0$ разбивает числовую ось на два промежутка: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих промежутков.
Для любого $x \ne 0$, $x^2 > 0$, следовательно, производная $y' = 3x^2 > 0$.
Это означает, что функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
Поскольку функция непрерывна в точке $x=0$, она монотонно возрастает на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$.

5. Нахождение точек экстремума.
Для нахождения точек экстремума нужно проверить, меняет ли производная знак при переходе через критическую точку $x=0$. Так как производная $y' = 3x^2$ положительна как слева, так и справа от $x=0$, то в этой точке экстремума нет.

Ответ: функция $y = x^3$ возрастает на всей числовой оси $(-\infty; +\infty)$ и не имеет точек экстремума.

б) $y = 2x^3$

1. Область определения функции.
Функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нахождение производной.
Используя правило дифференцирования произведения на константу и степенной функции:
$y' = (2x^3)' = 2 \cdot (x^3)' = 2 \cdot 3x^2 = 6x^2$.

3. Нахождение критических точек.
Производная $y' = 6x^2$ существует везде. Решим уравнение $y' = 0$:
$6x^2 = 0$
$x = 0$.
Критическая точка одна: $x=0$.

4. Определение промежутков монотонности.
Рассмотрим знак производной $y' = 6x^2$. Так как $x^2 \ge 0$ для всех $x$, производная $y' \ge 0$ на всей числовой оси и равна нулю только при $x=0$.
Следовательно, функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$ и, в силу непрерывности, на всей области определения.

5. Нахождение точек экстремума.
При переходе через точку $x=0$ производная не меняет свой знак (остается неотрицательной). Следовательно, точек экстремума у функции нет.

Ответ: функция $y = 2x^3$ возрастает на всей числовой оси $(-\infty; +\infty)$ и не имеет точек экстремума.

в) $y = x^3 + 1$

1. Область определения функции.
Функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нахождение производной.
Используем правило дифференцирования суммы:
$y' = (x^3 + 1)' = (x^3)' + (1)' = 3x^2 + 0 = 3x^2$.

3. Нахождение критических точек.
Производная $y' = 3x^2$ существует для всех $x$. Решим уравнение $y' = 0$:
$3x^2 = 0$
$x = 0$.
Имеется одна критическая точка $x=0$.

4. Определение промежутков монотонности.
Проанализируем знак производной $y' = 3x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $3x^2 \ge 0$ для любых $x$. Производная равна нулю только при $x=0$.
На промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$ производная положительна, следовательно, функция возрастает. Так как функция непрерывна, она возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

5. Нахождение точек экстремума.
В точке $x=0$ производная не меняет знак. Таким образом, функция не имеет точек экстремума.

Ответ: функция $y = x^3 + 1$ возрастает на всей числовой оси $(-\infty; +\infty)$ и не имеет точек экстремума.

г) $y = \frac{x^3}{2}$

1. Область определения функции.
Функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нахождение производной.
Используем правило вынесения константы за знак производной:
$y' = \left(\frac{x^3}{2}\right)' = \frac{1}{2} (x^3)' = \frac{1}{2} \cdot 3x^2 = \frac{3}{2}x^2$.

3. Нахождение критических точек.
Производная $y' = \frac{3}{2}x^2$ существует для всех $x$. Решим уравнение $y' = 0$:
$\frac{3}{2}x^2 = 0$
$x = 0$.
Критическая точка $x=0$.

4. Определение промежутков монотонности.
Рассмотрим знак производной $y' = \frac{3}{2}x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для всех $x$, производная $y' \ge 0$ на всей числовой оси, обращаясь в ноль лишь в точке $x=0$.
Это означает, что функция является возрастающей на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

5. Нахождение точек экстремума.
При переходе через критическую точку $x=0$ знак производной не изменяется. Следовательно, у функции нет точек экстремума.

Ответ: функция $y = \frac{x^3}{2}$ возрастает на всей числовой оси $(-\infty; +\infty)$ и не имеет точек экстремума.