Номер 10.5, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

10.5 а) $y = -x^3$;

б) $y = -3x^3$;

в) $y = -\frac{x^3}{5}$;

г) $y = -x^3 + 7.

а) $y = -x^3$

1. Найдём область определения функции. Так как данная функция является многочленом, её область определения — все действительные числа.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции для определения промежутков монотонности.
$y' = (-x^3)' = -3x^2$.

3. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю.
$-3x^2 = 0 \implies x = 0$.

4. Проанализируем знак производной.
Выражение $y' = -3x^2$ является неположительным (то есть $y' \le 0$) для любого значения $x$, так как $x^2 \ge 0$. Производная равна нулю только в точке $x=0$. Во всех остальных точках ($x \ne 0$) производная отрицательна ($y' < 0$).
Так как производная функции неположительна на всей области определения и обращается в нуль лишь в одной точке, функция является монотонно убывающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

б) $y = -3x^3$

1. Область определения функции — все действительные числа.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.
$y' = (-3x^3)' = -3 \cdot (3x^2) = -9x^2$.

3. Найдём критические точки.
$-9x^2 = 0 \implies x = 0$.

4. Проанализируем знак производной.
Производная $y' = -9x^2$ неположительна ($y' \le 0$) для всех $x$ из области определения. Равенство нулю достигается только при $x=0$. Следовательно, функция монотонно убывает на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

в) $y = -\frac{x^3}{5}$

1. Область определения функции — все действительные числа.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.
$y' = \left(-\frac{1}{5}x^3\right)' = -\frac{1}{5} \cdot 3x^2 = -\frac{3}{5}x^2$.

3. Найдём критические точки.
$-\frac{3}{5}x^2 = 0 \implies x = 0$.

4. Проанализируем знак производной.
Производная $y' = -\frac{3}{5}x^2$ неположительна ($y' \le 0$) для всех $x \in R$. Равенство нулю достигается только при $x=0$. Таким образом, функция монотонно убывает на всей числовой прямой.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

г) $y = -x^3 + 7$

1. Область определения функции — все действительные числа.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.
$y' = (-x^3 + 7)' = -3x^2 + 0 = -3x^2$.

3. Найдём критические точки.
$-3x^2 = 0 \implies x = 0$.

4. Проанализируем знак производной.
Производная $y' = -3x^2$ совпадает с производной из пункта а). Она неположительна ($y' \le 0$) для всех действительных $x$. Это означает, что функция монотонно убывает на всей своей области определения. Слагаемое $+7$ лишь сдвигает график функции вверх на 7 единиц, не влияя на её монотонность.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.