Номер 10.8, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

10.8 a) $y = x^2$;

б) $y = \frac{1}{x}$, $x > 0$;

В) $y = \sqrt{x}$;

Г) $y = |x|$, $-4 \le x \le 8$.

а)

Дана функция $y = x^2$. Эта функция представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, и вершиной в начале координат $(0, 0)$. Поскольку область определения $x$ не ограничена, $x$ может принимать любые действительные значения. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным. Минимальное значение функции достигается в ее вершине, где $x=0$, и равно $y = 0^2 = 0$. При увеличении $|x|$, значение $y$ неограниченно возрастает. Следовательно, область значений функции включает все неотрицательные действительные числа.
Ответ: $y \ge 0$.

б)

Дана функция $y = \frac{1}{x}$ с ограничением $x > 0$. Это означает, что мы рассматриваем только правую ветвь гиперболы, которая целиком лежит в первой координатной четверти. Так как $x$ является положительным числом, то и $y$, как обратное к нему число, также всегда будет положительным. Когда $x$ стремится к нулю справа ($x \to 0+$), значение $y$ неограниченно возрастает ($y \to +\infty$). Когда $x$ стремится к бесконечности ($x \to +\infty$), значение $y$ стремится к нулю, но никогда его не достигает. Таким образом, область значений функции — это все строго положительные действительные числа.
Ответ: $y > 0$.

в)

Дана функция $y = \sqrt{x}$. Область определения этой функции — все неотрицательные числа, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным ($x \ge 0$). По определению, арифметический квадратный корень из числа является неотрицательным. Минимальное значение функции достигается при наименьшем возможном значении $x$, то есть при $x=0$, и равно $y = \sqrt{0} = 0$. При увеличении $x$ значение $y$ также неограниченно возрастает. Следовательно, область значений функции — это все неотрицательные действительные числа.
Ответ: $y \ge 0$.

г)

Дана функция $y = |x|$ на отрезке $-4 \le x \le 8$. Функция модуля $y = |x|$ всегда возвращает неотрицательное значение. Её наименьшее значение равно 0 и достигается при $x=0$. Поскольку точка $x=0$ входит в заданный отрезок $[-4, 8]$, наименьшее значение функции на этом отрезке равно 0. Наибольшее значение функции на отрезке будет достигаться на одном из его концов. Сравним значения функции на концах отрезка:
При $x = -4$, $y = |-4| = 4$.
При $x = 8$, $y = |8| = 8$.
Наибольшее из этих значений — 8. Таким образом, на заданном отрезке функция принимает все значения от 0 (включительно) до 8 (включительно).
Ответ: $0 \le y \le 8$.