Номер 10.14, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте и прочитайте график функции:

$ y = \begin{cases} \frac{2}{x}, & \text{если } x < 0; \\ \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0. \end{cases} $

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения ее графика необходимо построить графики каждой из функций на заданном для нее промежутке.

1) На промежутке $x < 0$ функция задается формулой $y = \frac{2}{x}$. Это обратная пропорциональность, графиком которой является гипербола. Так как коэффициент $k=2 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Условию $x < 0$ соответствует ветвь в III четверти. Ось $y$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой, а ось $x$ ($y=0$) — горизонтальной асимптотой для этой части графика.

Составим таблицу опорных точек:

2) На промежутке $x \ge 0$ функция задается формулой $y = \sqrt{x}$. Графиком является верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси $Ox$. График начинается в точке $(0, 0)$.

Составим таблицу опорных точек:

Объединим построенные части на одной координатной плоскости.

Ответ: График функции, состоящий из ветви гиперболы $y=2/x$ в третьей четверти (для $x<0$) и ветви параболы $y=\sqrt{x}$ в первой четверти (для $x \ge 0$), представлен на рисунке выше.

Проанализируем построенный график и опишем свойства функции.

1. Область определения: Функция определена для всех $x < 0$ (первая формула) и для всех $x \ge 0$ (вторая формула). Таким образом, функция определена для всех действительных чисел.

2. Область значений: При $x < 0$ функция $y = 2/x$ принимает все отрицательные значения $y \in (-\infty; 0)$. При $x \ge 0$ функция $y = \sqrt{x}$ принимает все неотрицательные значения $y \in [0; +\infty)$. Объединяя эти два множества, получаем, что функция принимает все действительные значения.

3. Нули функции: Это точки пересечения с осью $Ox$. Решим уравнение $y=0$. Для $x < 0$, уравнение $2/x=0$ не имеет корней. Для $x \ge 0$, уравнение $\sqrt{x}=0$ имеет корень $x=0$.

4. Промежутки знакопостоянства: Функция положительна ($y>0$) там, где ее график лежит выше оси $Ox$. Это происходит при $x > 0$. Функция отрицательна ($y<0$) там, где ее график лежит ниже оси $Ox$. Это происходит при $x < 0$.

5. Монотонность: На промежутке $(-\infty; 0)$ график "идет вниз" при движении слева направо, значит, функция убывает. На промежутке $[0; +\infty)$ график "идет вверх", значит, функция возрастает.

6. Экстремумы: Экстремум (локальный минимум или максимум) — это точка, в которой функция меняет характер монотонности. В точке $x=0$ происходит смена убывания на возрастание, но функция имеет разрыв. Для любой окрестности точки $x=0$ найдутся отрицательные значения $x$, при которых $y(x) < 0$, а $y(0)=0$. Следовательно, точка $(0,0)$ не является локальным минимумом. Локальных экстремумов у функции нет.

7. Четность/нечетность: Область определения $D(y)=(-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Проверим, выполняется ли равенство $y(-x) = y(x)$ или $y(-x) = -y(x)$. Возьмем $x=4$: $y(4)=\sqrt{4}=2$. Тогда $y(-4)=2/(-4)=-0.5$. Видим, что $y(-4) \neq y(4)$ и $y(-4) \neq -y(4)$. Значит, функция является функцией общего вида.

8. Непрерывность: Функция непрерывна на каждом из интервалов $(-\infty; 0)$ и $[0; +\infty)$. В точке $x=0$ исследуем предел слева: $\lim_{x\to 0-} y(x) = \lim_{x\to 0-} \frac{2}{x} = -\infty$. Так как предел бесконечен, функция в точке $x=0$ терпит разрыв второго рода.

9. Асимптоты: Так как $\lim_{x\to 0-} y(x) = -\infty$, прямая $x=0$ (ось $Oy$) является вертикальной асимптотой. Так как $\lim_{x\to -\infty} y(x) = \lim_{x\to -\infty} \frac{2}{x} = 0$, прямая $y=0$ (ось $Ox$) является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$.

Ответ:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Нули функции: $x=0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty; 0)$, возрастает на $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: локальных экстремумов нет.
• Четность: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).
• Непрерывность: непрерывна на $(-\infty; 0) \cup [0; +\infty)$, в точке $x=0$ — разрыв второго рода.
• Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$ (при $x \to 0^-$), горизонтальная асимптота $y=0$ (при $x \to -\infty$).