Номер 10.20, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

10.20 Докажите, что функция убывает:

а) $y = -x^3 - 2x;$

б) $y = x^6 - 0.5x, x \le 0;$

в) $y = x^4 - 5x, x \le 0;$

г) $y = -3x^5 - x.$

Для доказательства того, что функция является убывающей, достаточно показать, что ее производная меньше или равна нулю на всей области определения (или на заданном промежутке).

а) $y = -x^3 - 2x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$y' = (-x^3 - 2x)' = -3x^2 - 2$.

Проанализируем знак производной. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $-3x^2 \le 0$.

Следовательно, выражение для производной $y' = -3x^2 - 2$ будет всегда отрицательным, так как $-3x^2 - 2 \le -2$.

Так как производная $y' < 0$ на всей области определения, функция $y = -x^3 - 2x$ убывает на всей числовой прямой.

Ответ: Доказано.

б) $y = x^6 - 0,5x, x \le 0$

Функция рассматривается на промежутке $(-\infty; 0]$.

Найдем производную функции:

$y' = (x^6 - 0,5x)' = 6x^5 - 0,5$.

Проанализируем знак производной на заданном промежутке $x \le 0$.

Если $x \le 0$, то $x^5 \le 0$ (так как степень нечетная). Тогда $6x^5 \le 0$.

Следовательно, $y' = 6x^5 - 0,5 \le 0 - 0,5 = -0,5$.

Так как производная $y' < 0$ на промежутке $(-\infty; 0]$, функция $y = x^6 - 0,5x$ убывает при $x \le 0$.

Ответ: Доказано.

в) $y = x^4 - 5x, x \le 0$

Функция рассматривается на промежутке $(-\infty; 0]$.

Найдем производную функции:

$y' = (x^4 - 5x)' = 4x^3 - 5$.

Проанализируем знак производной на заданном промежутке $x \le 0$.

Если $x \le 0$, то $x^3 \le 0$ (так как степень нечетная). Тогда $4x^3 \le 0$.

Следовательно, $y' = 4x^3 - 5 \le 0 - 5 = -5$.

Так как производная $y' < 0$ на промежутке $(-\infty; 0]$, функция $y = x^4 - 5x$ убывает при $x \le 0$.

Ответ: Доказано.

г) $y = -3x^5 - x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$y' = (-3x^5 - x)' = -15x^4 - 1$.

Проанализируем знак производной. Поскольку $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$ (так как степень четная), то $-15x^4 \le 0$.

Следовательно, выражение для производной $y' = -15x^4 - 1$ будет всегда отрицательным, так как $-15x^4 - 1 \le -1$.

Так как производная $y' < 0$ на всей области определения, функция $y = -3x^5 - x$ убывает на всей числовой прямой.

Ответ: Доказано.