Номер 10.22, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

10.22 a) $y = |x| + 3, x \in [-5; 1];$

Б) $y = -|4x| + 1, x \in (-6; 2];$

В) $y = -|2x| - 1, x \in [-1; 1];$

Г) $y = |x| + 3, x \in [-5; 1).$

а)

Задана функция $y = |x| + 3$ на промежутке $x \in [-5; 1]$.
График этой функции получается из графика $y = |x|$ (V-образная кривая с вершиной в начале координат) путем сдвига на 3 единицы вверх по оси OY. Вершина графика функции $y = |x| + 3$ находится в точке $(0, 3)$, и это точка минимума.
Поскольку точка $x = 0$ принадлежит заданному промежутку $[-5; 1]$, наименьшее значение функции достигается именно в ней:
$y_{наим} = y(0) = |0| + 3 = 3$.
Наибольшее значение для непрерывной функции на отрезке достигается на одном из его концов. Найдем значения функции на концах промежутка $x = -5$ и $x = 1$:
$y(-5) = |-5| + 3 = 5 + 3 = 8$.
$y(1) = |1| + 3 = 1 + 3 = 4$.
Сравнивая эти значения ($8$ и $4$), заключаем, что наибольшее значение функции на данном отрезке равно 8.
Таким образом, множество значений функции на отрезке $[-5; 1]$ есть отрезок от наименьшего до наибольшего значения.
Ответ: $[3; 8]$.

б)

Задана функция $y = -|4x| + 1$ на промежутке $x \in (-6; 2]$.
График этой функции — перевернутая V-образная кривая. Он получается из графика $y = |x|$ следующими преобразованиями: сжатие к оси OY в 4 раза (график $y=|4x|$), отражение относительно оси OX (график $y=-|4x|$), и сдвиг на 1 единицу вверх по оси OY. Вершина графика находится в точке $(0, 1)$ и является точкой максимума.
Так как точка $x = 0$ входит в область определения $(-6; 2]$, то наибольшее значение функции равно ординате вершины:
$y_{наиб} = y(0) = -|4 \cdot 0| + 1 = 1$.
Наименьшее значение функция будет принимать на границах промежутка, наиболее удаленных от вершины. Проверим значения на границах:
На правой границе, в точке $x = 2$ (которая включена в промежуток):
$y(2) = -|4 \cdot 2| + 1 = -|8| + 1 = -8 + 1 = -7$.
На левой границе, $x = -6$, точка не включена в промежуток. Найдем предел функции при $x$, стремящемся к $-6$ справа:
$\lim_{x \to -6^+} y(x) = -|4 \cdot (-6)| + 1 = -|-24| + 1 = -24 + 1 = -23$.
Это означает, что значения функции стремятся к $-23$, но никогда его не достигают. Наименьшее значение на промежутке $(-6, 2]$ не достигается, но значения функции ограничены снизу числом $-23$.
Таким образом, множество значений функции — это полуинтервал, включающий максимальное значение $1$ и стремящийся к $-23$.
Ответ: $(-23; 1]$.

в)

Задана функция $y = -|2x| - 1$ на промежутке $x \in [-1; 1]$.
График этой функции — перевернутая V-образная кривая. Он получается из графика $y = |x|$ путем сжатия к оси OY в 2 раза ($y=|2x|$), отражения относительно оси OX ($y=-|2x|$), и сдвига на 1 единицу вниз по оси OY. Вершина графика находится в точке $(0, -1)$ и является точкой максимума.
Поскольку $x = 0$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$, наибольшее значение функции достигается в этой точке:
$y_{наиб} = y(0) = -|2 \cdot 0| - 1 = -1$.
Наименьшее значение достигается на концах отрезка, так как они наиболее удалены от вершины $x = 0$. Так как отрезок $[-1; 1]$ симметричен относительно нуля, значения на его концах будут равны:
$y(-1) = -|2 \cdot (-1)| - 1 = -|-2| - 1 = -2 - 1 = -3$.
$y(1) = -|2 \cdot 1| - 1 = -|2| - 1 = -2 - 1 = -3$.
Наименьшее значение функции равно $-3$.
Следовательно, множество значений функции — это отрезок от наименьшего до наибольшего значения.
Ответ: $[-3; -1]$.

г)

Задана функция $y = |x| + 3$ на промежутке $x \in [-5; 1)$.
Как и в пункте а), это V-образная кривая с вершиной в точке $(0, 3)$, которая является точкой минимума.
Поскольку $x = 0$ принадлежит промежутку $[-5; 1)$, наименьшее значение функции равно $y(0)=3$:
$y_{наим} = y(0) = |0| + 3 = 3$.
Наибольшее значение ищем на границах промежутка. Оно будет достигаться на той границе, которая наиболее удалена от точки минимума $x = 0$. Расстояние от $-5$ до $0$ равно 5, а от $1$ до $0$ равно 1. Следовательно, максимум ищем в окрестности $x = -5$.
Найдем значения на границах:
На левой границе, в точке $x = -5$ (которая включена в промежуток):
$y(-5) = |-5| + 3 = 5 + 3 = 8$.
На правой границе, $x = 1$, точка не включена. Найдем предел:
$\lim_{x \to 1^-} y(x) = |1| + 3 = 4$.
Наибольшее значение, которое функция принимает на данном промежутке, равно $8$. Наименьшее значение равно $3$. Так как функция непрерывна, она принимает все значения между своим наименьшим и наибольшим значением.
Множество значений на отрезке $[-5, 0]$ есть $[3, 8]$. Множество значений на полуинтервале $[0, 1)$ есть $[3, 4)$. Объединение этих множеств дает $[3, 8]$.
Ответ: $[3; 8]$.