Номер 10.25, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

10.25 Исследуйте функцию на ограниченность:

а) $y = \sqrt{x^2 - 6x + 8};$

б) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 6x + 8}};$

в) $y = \sqrt{3 - x^2 - 2x};$

г) $y = \frac{-1}{\sqrt{3 - x^2 - 2x}}.$

а) $y = \sqrt{x^2 - 6x + 8}$

Для исследования функции на ограниченность сначала найдем ее область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^2 - 6x + 8 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 2] \cup [4, \infty)$. Это и есть область определения функции $D(y)$.

Теперь исследуем множество значений функции. Так как функция представляет собой арифметический квадратный корень, ее значения всегда неотрицательны, то есть $y \ge 0$. Следовательно, функция ограничена снизу числом 0. Наименьшее значение, равное 0, достигается при $x=2$ и $x=4$.

Чтобы проверить, ограничена ли функция сверху, рассмотрим ее поведение при $x \to \pm\infty$.

$\lim_{x \to \pm\infty} \sqrt{x^2 - 6x + 8} = \sqrt{\lim_{x \to \pm\infty} (x^2 - 6x + 8)} = \sqrt{+\infty} = +\infty$

Поскольку функция может принимать сколь угодно большие значения, она не ограничена сверху.

Ответ: функция ограничена снизу.

б) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 6x + 8}}$

Область определения функции задается строгим неравенством, так как подкоренное выражение находится в знаменателе:

$x^2 - 6x + 8 > 0$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $D(y) = (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$.

Знаменатель $\sqrt{x^2 - 6x + 8}$ всегда положителен в области определения. Следовательно, значение функции $y$ также всегда положительно, $y > 0$. Это означает, что функция ограничена снизу числом 0.

Проверим, ограничена ли функция сверху. Рассмотрим ее поведение на границах области определения:

$\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{\sqrt{x^2 - 6x + 8}} = \frac{1}{\sqrt{(2-0)^2 - 6(2-0) + 8}} = \frac{1}{0^+} = +\infty$

$\lim_{x \to 4^+} \frac{1}{\sqrt{x^2 - 6x + 8}} = \frac{1}{\sqrt{(4+0)^2 - 6(4+0) + 8}} = \frac{1}{0^+} = +\infty$

Поскольку функция может принимать сколь угодно большие значения, она не ограничена сверху.

Ответ: функция ограничена снизу.

в) $y = \sqrt{3 - x^2 - 2x}$

Найдем область определения функции из условия $3 - x^2 - 2x \ge 0$. Умножим на -1 и изменим знак неравенства:

$x^2 + 2x - 3 \le 0$

Корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$ равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями. Область определения $D(y) = [-3, 1]$.

Поскольку функция непрерывна на замкнутом отрезке, она ограничена и сверху, и снизу.
Как и в пункте а), значения функции неотрицательны, $y \ge 0$, поэтому функция ограничена снизу нулем. Минимальное значение $y=0$ достигается при $x=-3$ и $x=1$.
Для нахождения наибольшего значения найдем максимум подкоренного выражения $g(x) = -x^2 - 2x + 3$. Это парабола с ветвями вниз, ее максимум находится в вершине.
Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = -1$. Эта точка принадлежит отрезку $[-3, 1]$.
Максимальное значение подкоренного выражения: $g(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.
Следовательно, максимальное значение функции $y$ равно $\sqrt{4} = 2$.
Таким образом, для любого $x$ из области определения выполняется неравенство $0 \le y \le 2$. Функция ограничена.

Ответ: функция ограничена.

г) $y = \frac{-1}{\sqrt{3 - x^2 - 2x}}$

Область определения функции задается строгим неравенством $3 - x^2 - 2x > 0$, так как подкоренное выражение находится в знаменателе.
Из решения пункта в) следует, что $x^2 + 2x - 3 < 0$, что выполняется на интервале $D(y) = (-3, 1)$.

Знаменатель $\sqrt{3 - x^2 - 2x}$ всегда положителен, а числитель равен -1. Следовательно, значения функции $y$ всегда отрицательны, $y < 0$. Это означает, что функция ограничена сверху (например, числом 0).
Найдем наибольшее значение функции. Оно достигается, когда знаменатель принимает максимальное значение. Из пункта в) мы знаем, что максимум подкоренного выражения равен 4 при $x=-1$. Значит, максимальное значение знаменателя равно $\sqrt{4} = 2$.
Наибольшее значение функции $y$ равно $y_{max} = \frac{-1}{2}$. Итак, функция ограничена сверху числом -1/2.

Проверим, ограничена ли функция снизу. Для этого рассмотрим ее поведение на границах области определения:

$\lim_{x \to -3^+} \frac{-1}{\sqrt{3 - x^2 - 2x}} = \frac{-1}{0^+} = -\infty$

$\lim_{x \to 1^-} \frac{-1}{\sqrt{3 - x^2 - 2x}} = \frac{-1}{0^+} = -\infty$

Поскольку функция может принимать сколь угодно большие по модулю отрицательные значения, она не ограничена снизу.

Ответ: функция ограничена сверху.