Номер 11.3, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

11.3 Докажите, что функция является чётной:

а) $y = 3x^2 + x^4;$

б) $y = 4x^6 - x^2;$

в) $y = 2x^8 - x^6;$

г) $y = 5x^2 + x^{10}.$

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняются два условия:
1. Область определения функции симметрична относительно нуля (то есть если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ ей принадлежит).
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Все данные функции являются многочленами, область определения которых — множество всех действительных чисел $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля, поэтому первое условие для всех функций выполнено. Проверим для каждой функции выполнение второго условия.

а) $y = 3x^2 + x^4$
Обозначим функцию как $y(x) = 3x^2 + x^4$.
Найдём значение функции от аргумента $-x$:
$y(-x) = 3(-x)^2 + (-x)^4$.
Так как при возведении отрицательного числа в чётную степень результат является положительным, то $(-x)^2 = x^2$ и $(-x)^4 = x^4$.
Подставив это в выражение, получаем:
$y(-x) = 3x^2 + x^4$.
Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $y(-x) = y(x)$. Следовательно, функция является чётной.
Ответ: функция является чётной.

б) $y = 4x^6 - x^2$
Обозначим функцию как $y(x) = 4x^6 - x^2$.
Найдём значение функции от аргумента $-x$:
$y(-x) = 4(-x)^6 - (-x)^2$.
Поскольку степени 6 и 2 являются чётными, то $(-x)^6 = x^6$ и $(-x)^2 = x^2$.
Следовательно, выражение принимает вид:
$y(-x) = 4x^6 - x^2$.
Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $y(-x) = y(x)$. Следовательно, функция является чётной.
Ответ: функция является чётной.

в) $y = 2x^8 - x^6$
Обозначим функцию как $y(x) = 2x^8 - x^6$.
Найдём значение функции от аргумента $-x$:
$y(-x) = 2(-x)^8 - (-x)^6$.
Поскольку степени 8 и 6 являются чётными, то $(-x)^8 = x^8$ и $(-x)^6 = x^6$.
Таким образом, получаем:
$y(-x) = 2x^8 - x^6$.
Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $y(-x) = y(x)$. Следовательно, функция является чётной.
Ответ: функция является чётной.

г) $y = 5x^2 + x^{10}$
Обозначим функцию как $y(x) = 5x^2 + x^{10}$.
Найдём значение функции от аргумента $-x$:
$y(-x) = 5(-x)^2 + (-x)^{10}$.
Поскольку степени 2 и 10 являются чётными, то $(-x)^2 = x^2$ и $(-x)^{10} = x^{10}$.
В результате получаем:
$y(-x) = 5x^2 + x^{10}$.
Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $y(-x) = y(x)$. Следовательно, функция является чётной.
Ответ: функция является чётной.