Номер 10.24, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

10.24 Представьте данную функцию в виде $y = f(x + l) + m$, опишите её свойства и постройте график:

а) $y = \frac{x - 5}{4 - x}$, $x > 4$;

б) $y = \frac{2 - 3x}{2 + x}$, $x < -2$;

В) $y = \frac{x + 1}{x - 1}$, $x > 1$;

Г) $y = \frac{6 - 3x}{3 + x}$, $x < -3$.

а) $y = \frac{x-5}{4-x}$, $x > 4$

1. Представление функции в виде $y = f(x+l)+m$.

Выполним преобразование исходной дроби, выделив целую часть:

$y = \frac{x-5}{4-x} = \frac{x-5}{-(x-4)} = -\frac{(x-4)-1}{x-4} = -(\frac{x-4}{x-4} - \frac{1}{x-4}) = -(1 - \frac{1}{x-4}) = \frac{1}{x-4} - 1$.

Таким образом, функция представлена в виде $y = \frac{1}{x-4} - 1$. Это соответствует виду $y = f(x+l)+m$, где $f(x) = \frac{1}{x}$, $l=-4$, $m=-1$.

2. Свойства функции.

График функции является частью гиперболы $y=\frac{1}{x}$, смещенной на 4 единицы вправо и на 1 единицу вниз.

• Область определения: $D(y) = (4; +\infty)$ (по условию).
• Асимптоты: вертикальная $x=4$ и горизонтальная $y=-1$.
• Область значений: При $x \to 4^+$, $y \to +\infty$. При $x \to +\infty$, $y \to -1$. Следовательно, $E(y) = (-1; +\infty)$.
• Монотонность: Производная $y' = -\frac{1}{(x-4)^2} < 0$ на всей области определения, значит, функция строго убывает на интервале $(4; +\infty)$.
• Нули функции: $y=0 \Rightarrow \frac{1}{x-4} - 1 = 0 \Rightarrow x-4=1 \Rightarrow x=5$. Точка пересечения с осью Ox: $(5, 0)$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (4; 5)$; $y < 0$ при $x \in (5; +\infty)$.

3. Построение графика.

График представляет собой правую ветвь гиперболы $y = \frac{1}{x-4} - 1$, расположенную в первой и четвертой четвертях относительно своих асимптот.

1. На координатной плоскости строим пунктирными линиями асимптоты: прямую $x=4$ и прямую $y=-1$.
2. Отмечаем точку пересечения с осью Ox: $(5, 0)$.
3. Находим еще одну точку для точности. Например, при $x=6$, $y = \frac{1}{6-4} - 1 = -0.5$. Точка $(6, -0.5)$.
4. Проводим кривую, которая при $x \to 4^+$ стремится к $+\infty$ вдоль асимптоты $x=4$, проходит через точки $(5, 0)$ и $(6, -0.5)$ и при $x \to +\infty$ приближается сверху к асимптоте $y=-1$.

Ответ: $y = \frac{1}{x-4}-1$.

б) $y = \frac{2-3x}{2+x}$, $x < -2$

1. Представление функции в виде $y = f(x+l)+m$.

Выделим целую часть:

$y = \frac{2-3x}{x+2} = \frac{-3x+2}{x+2} = \frac{-3(x+2)+6+2}{x+2} = \frac{-3(x+2)+8}{x+2} = -3 + \frac{8}{x+2} = \frac{8}{x+2} - 3$.

Функция представлена в виде $y = \frac{8}{x+2} - 3$. Это соответствует виду $y = f(x+l)+m$, где $f(x) = \frac{8}{x}$, $l=2$, $m=-3$.

2. Свойства функции.

График функции является частью гиперболы $y=\frac{8}{x}$, смещенной на 2 единицы влево и на 3 единицы вниз.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; -2)$ (по условию).
• Асимптоты: вертикальная $x=-2$ и горизонтальная $y=-3$.
• Область значений: При $x \to -2^-$, $y \to -\infty$. При $x \to -\infty$, $y \to -3$. Следовательно, $E(y) = (-\infty; -3)$.
• Монотонность: Производная $y' = -\frac{8}{(x+2)^2} < 0$ на всей области определения, значит, функция строго убывает на интервале $(-\infty; -2)$.
• Нули функции: Уравнение $\frac{8}{x+2} - 3 = 0$ имеет корень $x=2/3$, который не входит в область определения. Нулей у функции нет.
• Промежутки знакопостоянства: Так как область значений $E(y) = (-\infty; -3)$, то $y < 0$ на всей области определения.

3. Построение графика.

График представляет собой левую ветвь гиперболы $y = \frac{8}{x+2} - 3$, расположенную в третьей четверти относительно своих асимптот.

1. Строим асимптоты: $x=-2$ и $y=-3$.
2. Находим несколько точек. Например:
   • при $x=-3$, $y = \frac{8}{-3+2} - 3 = -11$. Точка $(-3, -11)$.
   • при $x=-4$, $y = \frac{8}{-4+2} - 3 = -7$. Точка $(-4, -7)$.
   • при $x=-6$, $y = \frac{8}{-6+2} - 3 = -5$. Точка $(-6, -5)$.
3. Проводим кривую, которая при $x \to -\infty$ приближается снизу к асимптоте $y=-3$, проходит через вычисленные точки и при $x \to -2^-$ стремится к $-\infty$ вдоль асимптоты $x=-2$.

Ответ: $y = \frac{8}{x+2}-3$.

в) $y = \frac{x+1}{x-1}$, $x > 1$

1. Представление функции в виде $y = f(x+l)+m$.

Выделим целую часть:

$y = \frac{x+1}{x-1} = \frac{(x-1)+2}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} + \frac{2}{x-1} = 1 + \frac{2}{x-1} = \frac{2}{x-1} + 1$.

Функция представлена в виде $y = \frac{2}{x-1} + 1$. Это соответствует виду $y = f(x+l)+m$, где $f(x) = \frac{2}{x}$, $l=-1$, $m=1$.

2. Свойства функции.

График функции является частью гиперболы $y=\frac{2}{x}$, смещенной на 1 единицу вправо и на 1 единицу вверх.

• Область определения: $D(y) = (1; +\infty)$ (по условию).
• Асимптоты: вертикальная $x=1$ и горизонтальная $y=1$.
• Область значений: При $x \to 1^+$, $y \to +\infty$. При $x \to +\infty$, $y \to 1$. Следовательно, $E(y) = (1; +\infty)$.
• Монотонность: Производная $y' = -\frac{2}{(x-1)^2} < 0$ на всей области определения, значит, функция строго убывает на интервале $(1; +\infty)$.
• Нули функции: Уравнение $\frac{2}{x-1} + 1 = 0$ имеет корень $x=-1$, который не входит в область определения. Нулей у функции нет.
• Промежутки знакопостоянства: Так как область значений $E(y) = (1; +\infty)$, то $y > 0$ на всей области определения.

3. Построение графика.

График представляет собой правую ветвь гиперболы $y = \frac{2}{x-1} + 1$, расположенную в первой четверти относительно своих асимптот.

1. Строим асимптоты: $x=1$ и $y=1$.
2. Находим несколько точек. Например:
   • при $x=2$, $y = \frac{2}{2-1} + 1 = 3$. Точка $(2, 3)$.
   • при $x=3$, $y = \frac{2}{3-1} + 1 = 2$. Точка $(3, 2)$.
3. Проводим кривую, которая при $x \to 1^+$ стремится к $+\infty$ вдоль асимптоты $x=1$, проходит через точки $(2, 3)$, $(3, 2)$ и при $x \to +\infty$ приближается сверху к асимптоте $y=1$.

Ответ: $y = \frac{2}{x-1}+1$.

г) $y = \frac{6-3x}{3+x}$, $x < -3$

1. Представление функции в виде $y = f(x+l)+m$.

Выделим целую часть:

$y = \frac{6-3x}{x+3} = \frac{-3x+6}{x+3} = \frac{-3(x+3)+9+6}{x+3} = \frac{-3(x+3)+15}{x+3} = -3 + \frac{15}{x+3} = \frac{15}{x+3} - 3$.

Функция представлена в виде $y = \frac{15}{x+3} - 3$. Это соответствует виду $y = f(x+l)+m$, где $f(x) = \frac{15}{x}$, $l=3$, $m=-3$.

2. Свойства функции.

График функции является частью гиперболы $y=\frac{15}{x}$, смещенной на 3 единицы влево и на 3 единицы вниз.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; -3)$ (по условию).
• Асимптоты: вертикальная $x=-3$ и горизонтальная $y=-3$.
• Область значений: При $x \to -3^-$, $y \to -\infty$. При $x \to -\infty$, $y \to -3$. Следовательно, $E(y) = (-\infty; -3)$.
• Монотонность: Производная $y' = -\frac{15}{(x+3)^2} < 0$ на всей области определения, значит, функция строго убывает на интервале $(-\infty; -3)$.
• Нули функции: Уравнение $\frac{15}{x+3} - 3 = 0$ имеет корень $x=2$, который не входит в область определения. Нулей у функции нет.
• Промежутки знакопостоянства: Так как область значений $E(y) = (-\infty; -3)$, то $y < 0$ на всей области определения.

3. Построение графика.

График представляет собой левую ветвь гиперболы $y = \frac{15}{x+3} - 3$, расположенную в третьей четверти относительно своих асимптот.

1. Строим асимптоты: $x=-3$ и $y=-3$.
2. Находим несколько точек. Например:
   • при $x=-4$, $y = \frac{15}{-4+3} - 3 = -18$. Точка $(-4, -18)$.
   • при $x=-6$, $y = \frac{15}{-6+3} - 3 = -8$. Точка $(-6, -8)$.
   • при $x=-8$, $y = \frac{15}{-8+3} - 3 = -6$. Точка $(-8, -6)$.
3. Проводим кривую, которая при $x \to -\infty$ приближается снизу к асимптоте $y=-3$, проходит через вычисленные точки и при $x \to -3^-$ стремится к $-\infty$ вдоль асимптоты $x=-3$.

Ответ: $y = \frac{15}{x+3}-3$.