Номер 10.17, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

10.17 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} x - 1, \text{ если } -2 \le x \le 0; \\ 2x^2 + 4x - 1, \text{ если } x > 0. \end{cases}$

a) Найдите: $f(-2)$; $f(0)$; $f(5)$;

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) перечислите свойства функции.

а) Найдите: f(-2); f(0); f(5);

Для нахождения значений функции $f(x)$ необходимо определить, какому промежутку принадлежит аргумент $x$ и использовать соответствующую формулу.

• Чтобы найти $f(-2)$, заметим, что $x = -2$ удовлетворяет условию $-2 \le x \le 0$.
  Следовательно, используем первую формулу $f(x) = x - 1$:
  $f(-2) = -2 - 1 = -3$.

• Чтобы найти $f(0)$, заметим, что $x = 0$ удовлетворяет условию $-2 \le x \le 0$.
  Следовательно, используем ту же формулу $f(x) = x - 1$:
  $f(0) = 0 - 1 = -1$.

• Чтобы найти $f(5)$, заметим, что $x = 5$ удовлетворяет условию $x > 0$.
  Следовательно, используем вторую формулу $f(x) = 2x^2 + 4x - 1$:
  $f(5) = 2 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5 - 1 = 2 \cdot 25 + 20 - 1 = 50 + 20 - 1 = 69$.

Ответ: $f(-2) = -3$; $f(0) = -1$; $f(5) = 69$.

б) постройте график функции y = f(x);

График функции состоит из двух частей.

1. На промежутке $[-2, 0]$ функция задается формулой $y = x - 1$. Это линейная функция, её график — отрезок прямой. Для построения отрезка найдем координаты его концов:

• При $x = -2$, $y = -2 - 1 = -3$. Координаты первой точки: $(-2, -3)$.
• При $x = 0$, $y = 0 - 1 = -1$. Координаты второй точки: $(0, -1)$.

Обе точки принадлежат графику, так как неравенство $-2 \le x \le 0$ нестрогое.

2. На промежутке $x > 0$ функция задается формулой $y = 2x^2 + 4x - 1$. Это квадратичная функция, её график — часть параболы, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше нуля).

Найдем координаты вершины параболы: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$. $y_в = 2(-1)^2 + 4(-1) - 1 = 2 - 4 - 1 = -3$. Вершина параболы находится в точке $(-1, -3)$, которая не входит в рассматриваемый промежуток $x > 0$.

Так как $x_в = -1$, то на всем промежутке $(0, \infty)$ функция возрастает. Найдем, к какому значению стремится функция при $x$, стремящемся к 0 справа: $\lim_{x \to 0^+} (2x^2 + 4x - 1) = -1$. Это означает, что вторая часть графика начинается в точке $(0, -1)$. Так как неравенство $x > 0$ строгое, эта точка является "выколотой" для этой части графика.

Однако первая часть графика заканчивается в этой же точке $(0, -1)$, и она принадлежит графику. Таким образом, на границе $x=0$ части графика стыкуются, и функция является непрерывной.

Для более точного построения параболы найдем еще одну точку, например, при $x = 1$: $y = 2(1)^2 + 4(1) - 1 = 5$. Точка $(1, 5)$.

Ответ: График функции $y=f(x)$ представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки $(-2, -3)$ и $(0, -1)$, и примыкающую к нему в точке $(0, -1)$ часть параболы $y = 2x^2 + 4x - 1$, уходящую вверх и вправо, проходящую, например, через точку $(1, 5)$.

в) перечислите свойства функции.

1. Область определения функции $D(f)$: $[-2, \infty)$.

2. Область значений функции $E(f)$: $[-3, \infty)$.

3. Четность: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее область определения не симметрична относительно нуля.

4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Решим уравнение $f(x)=0$:

   • На $[-2, 0]$: $x - 1 = 0 \Rightarrow x=1$. Корень не принадлежит промежутку.

   • На $(0, \infty)$: $2x^2 + 4x - 1 = 0$. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 16 + 8 = 24$. Корни: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{6}}{2}$. Условию $x>0$ удовлетворяет только корень $x = \frac{-2 + \sqrt{6}}{2}$. Это единственный нуль функции.

5. Промежутки знакопостоянства:

   • $f(x) > 0$ при $x \in (\frac{\sqrt{6}-2}{2}, \infty)$.

   • $f(x) < 0$ при $x \in [-2, \frac{\sqrt{6}-2}{2})$.

6. Монотонность: функция возрастает на всей области определения $[-2, \infty)$.

7. Экстремумы: функция не имеет точек локального максимума или минимума. Наименьшее значение функции $y_{min} = f(-2) = -3$. Наибольшего значения не существует.

8. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения $[-2, \infty)$.

Ответ:
1. Область определения: $D(f) = [-2, \infty)$.
2. Область значений: $E(f) = [-3, \infty)$.
3. Функция общего вида.
4. Нуль функции: $x = \frac{\sqrt{6}-2}{2}$.
5. $f(x) > 0$ при $x \in (\frac{\sqrt{6}-2}{2}, \infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in [-2, \frac{\sqrt{6}-2}{2})$.
6. Функция возрастает на $[-2, \infty)$.
7. Наименьшее значение $y_{min} = -3$ при $x=-2$; наибольшего значения нет.
8. Функция непрерывна на $[-2, \infty)$.