Страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

10.12 $y = \sqrt{x}$, если:

a) $x \in [0; +\infty)$;

б) $x \in [0; 3];

в) $x \in [1; 4];

г) $x \in (0; 2].

а) Для функции $y = \sqrt{x}$, если $x \in [0; +\infty)$, мы ищем множество всех возможных значений $y$. Функция $y = \sqrt{x}$ является монотонно возрастающей для всех $x$ из своей области определения, то есть для $x \ge 0$. Это означает, что с увеличением $x$ значение $y$ также увеличивается. Найдем наименьшее значение функции. Оно достигается при наименьшем значении $x$, то есть при $x = 0$. $y_{min} = \sqrt{0} = 0$. Поскольку $x$ может принимать сколь угодно большие значения (стремится к $+\infty$), значение $y = \sqrt{x}$ также будет неограниченно возрастать. Таким образом, множество значений функции (область значений) на данном промежутке — это все неотрицательные числа.
Ответ: $y \in [0; +\infty)$.

б) Для функции $y = \sqrt{x}$ на отрезке $x \in [0; 3]$. Поскольку функция $y = \sqrt{x}$ монотонно возрастает, ее наименьшее и наибольшее значения на отрезке достигаются на его концах. Наименьшее значение функции соответствует наименьшему значению $x$: при $x = 0$, $y = \sqrt{0} = 0$. Наибольшее значение функции соответствует наибольшему значению $x$: при $x = 3$, $y = \sqrt{3}$. Так как функция непрерывна и определена на замкнутом интервале (отрезке), она принимает все значения между своим наименьшим и наибольшим значением.
Ответ: $y \in [0; \sqrt{3}]$.

в) Для функции $y = \sqrt{x}$ на отрезке $x \in [1; 4]$. Функция $y = \sqrt{x}$ монотонно возрастает на данном отрезке. Найдем значения функции на концах отрезка, чтобы определить границы множества значений. При $x = 1$, $y = \sqrt{1} = 1$. При $x = 4$, $y = \sqrt{4} = 2$. Множество значений функции на отрезке $[1; 4]$ будет отрезком от $1$ до $2$.
Ответ: $y \in [1; 2]$.

г) Для функции $y = \sqrt{x}$ на полуинтервале $x \in (0; 2]$. Функция $y = \sqrt{x}$ также монотонно возрастает на этом промежутке. Правая граница $x=2$ включена в промежуток, поэтому функция достигает своего наибольшего значения: при $x = 2$, $y = \sqrt{2}$. Левая граница $x=0$ не включена, то есть $x$ может быть сколь угодно близко к нулю, но всегда $x > 0$. Следовательно, значение $y = \sqrt{x}$ будет сколь угодно близко к $\sqrt{0} = 0$, но всегда будет строго больше нуля ($y > 0$). Таким образом, множество значений — это полуинтервал, открытый слева и закрытый справа.
Ответ: $y \in (0; \sqrt{2}]$.

10.13 a) $y = \sqrt{x - 4}$;

Б) $y = 3 - \sqrt{x}$;

В) $y = \sqrt{x} + 2;

Г) $y = 4 - \sqrt{x}$.

а) $y = \sqrt{x - 4}$

Чтобы найти область определения данной функции, необходимо учесть, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

$x - 4 \ge 0$

Перенесем 4 в правую часть неравенства:

$x \ge 4$

Таким образом, область определения функции (D(y)) — это все значения $x$, большие или равные 4. $D(y) = [4; +\infty)$.

Чтобы найти область значений функции, заметим, что результат извлечения арифметического квадратного корня всегда является неотрицательным числом.

$\sqrt{x - 4} \ge 0$

Следовательно, $y \ge 0$.

Таким образом, область значений функции (E(y)) — это все значения $y$, большие или равные 0. $E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = [4; +\infty)$; область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

б) $y = 3 - \sqrt{x}$

Область определения функции: выражение под знаком корня должно быть неотрицательным.

$x \ge 0$

$D(y) = [0; +\infty)$.

Для нахождения области значений начнем с того, что $\sqrt{x} \ge 0$.

Умножим это неравенство на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$-\sqrt{x} \le 0$

Теперь прибавим 3 к обеим частям неравенства:

$3 - \sqrt{x} \le 3$

Следовательно, $y \le 3$.

Область значений функции: $E(y) = (-\infty; 3]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [0; +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty; 3]$.

в) $y = \sqrt{x} + 2$

Область определения функции: выражение под знаком корня должно быть неотрицательным.

$x \ge 0$

$D(y) = [0; +\infty)$.

Для нахождения области значений начнем с того, что $\sqrt{x} \ge 0$.

Прибавим 2 к обеим частям неравенства:

$\sqrt{x} + 2 \ge 2$

Следовательно, $y \ge 2$.

Область значений функции: $E(y) = [2; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = [0; +\infty)$; область значений $E(y) = [2; +\infty)$.

г) $y = 4 - \sqrt{x}$

Область определения функции: выражение под знаком корня должно быть неотрицательным.

$x \ge 0$

$D(y) = [0; +\infty)$.

Для нахождения области значений начнем с того, что $\sqrt{x} \ge 0$.

Умножим это неравенство на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$-\sqrt{x} \le 0$

Теперь прибавим 4 к обеим частям неравенства:

$4 - \sqrt{x} \le 4$

Следовательно, $y \le 4$.

Область значений функции: $E(y) = (-\infty; 4]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [0; +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty; 4]$.

Постройте и прочитайте график функции:

$ y = \begin{cases} \frac{2}{x}, & \text{если } x < 0; \\ \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0. \end{cases} $

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения ее графика необходимо построить графики каждой из функций на заданном для нее промежутке.

1) На промежутке $x < 0$ функция задается формулой $y = \frac{2}{x}$. Это обратная пропорциональность, графиком которой является гипербола. Так как коэффициент $k=2 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Условию $x < 0$ соответствует ветвь в III четверти. Ось $y$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой, а ось $x$ ($y=0$) — горизонтальной асимптотой для этой части графика.

Составим таблицу опорных точек:

2) На промежутке $x \ge 0$ функция задается формулой $y = \sqrt{x}$. Графиком является верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси $Ox$. График начинается в точке $(0, 0)$.

Составим таблицу опорных точек:

Объединим построенные части на одной координатной плоскости.

Ответ: График функции, состоящий из ветви гиперболы $y=2/x$ в третьей четверти (для $x<0$) и ветви параболы $y=\sqrt{x}$ в первой четверти (для $x \ge 0$), представлен на рисунке выше.

Проанализируем построенный график и опишем свойства функции.

1. Область определения: Функция определена для всех $x < 0$ (первая формула) и для всех $x \ge 0$ (вторая формула). Таким образом, функция определена для всех действительных чисел.

2. Область значений: При $x < 0$ функция $y = 2/x$ принимает все отрицательные значения $y \in (-\infty; 0)$. При $x \ge 0$ функция $y = \sqrt{x}$ принимает все неотрицательные значения $y \in [0; +\infty)$. Объединяя эти два множества, получаем, что функция принимает все действительные значения.

3. Нули функции: Это точки пересечения с осью $Ox$. Решим уравнение $y=0$. Для $x < 0$, уравнение $2/x=0$ не имеет корней. Для $x \ge 0$, уравнение $\sqrt{x}=0$ имеет корень $x=0$.

4. Промежутки знакопостоянства: Функция положительна ($y>0$) там, где ее график лежит выше оси $Ox$. Это происходит при $x > 0$. Функция отрицательна ($y<0$) там, где ее график лежит ниже оси $Ox$. Это происходит при $x < 0$.

5. Монотонность: На промежутке $(-\infty; 0)$ график "идет вниз" при движении слева направо, значит, функция убывает. На промежутке $[0; +\infty)$ график "идет вверх", значит, функция возрастает.

6. Экстремумы: Экстремум (локальный минимум или максимум) — это точка, в которой функция меняет характер монотонности. В точке $x=0$ происходит смена убывания на возрастание, но функция имеет разрыв. Для любой окрестности точки $x=0$ найдутся отрицательные значения $x$, при которых $y(x) < 0$, а $y(0)=0$. Следовательно, точка $(0,0)$ не является локальным минимумом. Локальных экстремумов у функции нет.

7. Четность/нечетность: Область определения $D(y)=(-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Проверим, выполняется ли равенство $y(-x) = y(x)$ или $y(-x) = -y(x)$. Возьмем $x=4$: $y(4)=\sqrt{4}=2$. Тогда $y(-4)=2/(-4)=-0.5$. Видим, что $y(-4) \neq y(4)$ и $y(-4) \neq -y(4)$. Значит, функция является функцией общего вида.

8. Непрерывность: Функция непрерывна на каждом из интервалов $(-\infty; 0)$ и $[0; +\infty)$. В точке $x=0$ исследуем предел слева: $\lim_{x\to 0-} y(x) = \lim_{x\to 0-} \frac{2}{x} = -\infty$. Так как предел бесконечен, функция в точке $x=0$ терпит разрыв второго рода.

9. Асимптоты: Так как $\lim_{x\to 0-} y(x) = -\infty$, прямая $x=0$ (ось $Oy$) является вертикальной асимптотой. Так как $\lim_{x\to -\infty} y(x) = \lim_{x\to -\infty} \frac{2}{x} = 0$, прямая $y=0$ (ось $Ox$) является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$.

Ответ:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Нули функции: $x=0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty; 0)$, возрастает на $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: локальных экстремумов нет.
• Четность: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).
• Непрерывность: непрерывна на $(-\infty; 0) \cup [0; +\infty)$, в точке $x=0$ — разрыв второго рода.
• Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$ (при $x \to 0^-$), горизонтальная асимптота $y=0$ (при $x \to -\infty$).

10.15 $y = \begin{cases} 4 - 2x^2, & \text{если } -1 \le x \le 1; \\ x + 1, & \text{если } 1 < x \le 3. \end{cases}$

Для детального решения задачи проведем полное исследование заданной кусочно-непрерывной функции:

$y = \begin{cases} 4 - 2x^2, & \text{если } -1 \le x \le 1 \\ x + 1, & \text{если } 1 < x \le 3 \end{cases}$

1. Область определения функции

Функция определена на двух промежутках. Первый промежуток — это отрезок $[-1, 1]$. Второй — полуинтервал $(1, 3]$. Область определения функции $D(y)$ является объединением этих двух множеств:

$D(y) = [-1, 1] \cup (1, 3] = [-1, 3]$.

Ответ: Область определения функции — отрезок $[-1, 3]$.

2. Исследование на непрерывность

Функция $y = 4 - 2x^2$ является непрерывной на всей числовой прямой, а значит, и на отрезке $[-1, 1]$.

Функция $y = x + 1$ также является непрерывной на всей числовой прямой, а значит, и на полуинтервале $(1, 3]$.

Единственная точка, в которой непрерывность может быть нарушена, — это точка "стыка" $x = 1$. Проверим непрерывность в этой точке. Для этого необходимо проверить, что значение функции в точке равно ее левостороннему и правостороннему пределам.

Значение функции в точке $x=1$ определяется первой формулой, так как неравенство $-1 \le x \le 1$ является нестрогим:

$y(1) = 4 - 2(1)^2 = 4 - 2 = 2$.

Найдем левосторонний предел (при $x \to 1^-$):

$\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^-} (4 - 2x^2) = 4 - 2(1)^2 = 2$.

Найдем правосторонний предел (при $x \to 1^+$):

$\lim_{x \to 1^+} y(x) = \lim_{x \to 1^+} (x + 1) = 1 + 1 = 2$.

Так как значение функции в точке $x=1$ совпадает с левым и правым пределами ($y(1) = \lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^+} y(x) = 2$), функция является непрерывной в этой точке.

Ответ: Функция непрерывна на всей своей области определения $[-1, 3]$.

3. Нахождение промежутков монотонности и точек экстремума

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума, найдем производную функции на каждом из интервалов.

На интервале $(-1, 1)$:

$y' = (4 - 2x^2)' = -4x$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $-4x = 0 \implies x = 0$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые точка $x=0$ делит промежуток $(-1, 1)$:
- Если $x \in (-1, 0)$, то $y' = -4x > 0$, следовательно, функция возрастает на отрезке $[-1, 0]$.
- Если $x \in (0, 1)$, то $y' = -4x < 0$, следовательно, функция убывает на отрезке $[0, 1]$.

Поскольку в точке $x=0$ производная меняет знак с "+" на "-", то $x=0$ является точкой локального максимума. Значение функции в этой точке: $y(0) = 4 - 2(0)^2 = 4$.

На интервале $(1, 3)$:

$y' = (x + 1)' = 1$.

Так как $y' = 1 > 0$ на всем интервале $(1, 3)$, функция строго возрастает на этом интервале. Учитывая непрерывность в точке $x=1$ и включенную правую границу, можно сказать, что функция возрастает на отрезке $[1, 3]$.

Рассмотрим точки "стыка" и концы отрезка области определения: $x = -1, x = 1, x = 3$.

- В точке $x=-1$ (левая граница). $y(-1)=2$. Справа от этой точки функция возрастает, следовательно, $x=-1$ — точка локального минимума.

- В точке $x=1$. $y(1)=2$. Слева от этой точки (на $[0, 1]$) функция убывает, а справа (на $[1, 3]$) — возрастает. Следовательно, $x=1$ — точка локального минимума.

- В точке $x=3$ (правая граница). $y(3)=3+1=4$. Слева от этой точки функция возрастает, следовательно, $x=3$ — точка локального максимума.

Ответ:
- Промежутки возрастания: $[-1, 0]$ и $[1, 3]$.
- Промежуток убывания: $[0, 1]$.
- Точки локального минимума: $x=-1$ (при $y=2$) и $x=1$ (при $y=2$).
- Точки локального максимума: $x=0$ (при $y=4$) и $x=3$ (при $y=4$).

4. Область значений функции

Область значений $E(y)$ — это множество всех значений, которые принимает функция. Чтобы найти его, нужно определить наименьшее и наибольшее значения функции на всей области определения. Эти значения достигаются либо в точках экстремума, либо на концах области определения.

Из предыдущего пункта мы нашли все локальные минимумы и максимумы:

Наименьшее значение функции (абсолютный минимум): $y_{min} = y(-1) = y(1) = 2$.

Наибольшее значение функции (абсолютный максимум): $y_{max} = y(0) = y(3) = 4$.

Так как функция непрерывна на отрезке $[-1, 3]$, она принимает все значения между своим наименьшим и наибольшим значениями.

Ответ: Область значений функции — отрезок $[2, 4]$.

5. Построение графика

Для построения графика используем все полученные данные.

1. На отрезке $[-1, 1]$ строим график параболы $y = 4 - 2x^2$. Это дуга параболы с ветвями, направленными вниз. Ключевые точки:
- Левая граница: $(-1, 2)$.
- Вершина (локальный максимум): $(0, 4)$.
- Правая граница: $(1, 2)$.

2. На отрезке $[1, 3]$ строим график прямой $y = x + 1$. Это отрезок прямой. Ключевые точки:
- Левая граница: $(1, 2)$.
- Правая граница (локальный максимум): $(3, 4)$.

3. Соединяем эти две части. В точке $(1, 2)$ график не имеет разрыва, происходит плавный переход от убывания к возрастанию, образуя точку минимума.

Ответ: График функции состоит из двух частей, соединенных в точке $(1, 2)$. Первая часть — это дуга параболы с вершиной в точке $(0, 4)$, проходящая через точки $(-1, 2)$ и $(1, 2)$. Вторая часть — это отрезок прямой, соединяющий точки $(1, 2)$ и $(3, 4)$.

10.16 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 4x + 2, & \text{если } -2 \le x \le 0; \\ x + 1, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

a) Найдите: $f(-3); f(0); f(5);$

б) постройте график функции $y = f(x);$

в) перечислите свойства функции.

а) Найдите: f(-3); f(0); f(5);

Дана кусочно-заданная функция $f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 4x + 2, & \text{если } -2 \le x \le 0 \\ x+1, & \text{если } x > 0 \end{cases}$.

1. Чтобы найти $f(-3)$, нужно определить, какому условию удовлетворяет $x=-3$. Поскольку $-3$ не удовлетворяет ни условию $-2 \le x \le 0$, ни условию $x > 0$, точка $x=-3$ не входит в область определения функции.

2. Чтобы найти $f(0)$, используем первую формулу, так как $x=0$ удовлетворяет условию $-2 \le x \le 0$.
$f(0) = 2(0)^2 + 4(0) + 2 = 0 + 0 + 2 = 2$.

3. Чтобы найти $f(5)$, используем вторую формулу, так как $x=5$ удовлетворяет условию $x > 0$.
$f(5) = 5 + 1 = 6$.

Ответ: $f(-3)$ не определено; $f(0) = 2$; $f(5) = 6$.

б) постройте график функции y = f(x);

График функции состоит из двух частей.

1. На промежутке $[-2, 0]$ строим график функции $y = 2x^2 + 4x + 2$. Это парабола. Преобразуем формулу, выделив полный квадрат: $y = 2(x^2 + 2x + 1) = 2(x+1)^2$.
Вершина этой параболы находится в точке $(-1, 0)$. Ветви параболы направлены вверх. Найдем значения на концах отрезка:

• $f(-2) = 2(-2+1)^2 = 2$. Точка $(-2, 2)$.
• $f(0) = 2(0+1)^2 = 2$. Точка $(0, 2)$.

Таким образом, на отрезке $[-2, 0]$ график представляет собой дугу параболы с вершиной в $(-1, 0)$ и проходящую через точки $(-2, 2)$ и $(0, 2)$. Концевые точки включены.

2. На промежутке $(0, +\infty)$ строим график функции $y = x+1$. Это прямая линия (луч).
Поскольку $x>0$, точка с абсциссой $x=0$ не входит в эту часть графика. Найдем координату начальной точки луча, которая будет "выколотой": при $x \to 0^+$, $y \to 1$. Значит, луч начинается в точке $(0, 1)$, которая не принадлежит графику.
Для построения луча найдем еще одну точку, например, при $x=1$: $y = 1+1=2$. Точка $(1, 2)$.
Таким образом, на интервале $(0, +\infty)$ график — это луч, выходящий из точки $(0, 1)$ и проходящий через точку $(1, 2)$.

В результате получаем график, состоящий из дуги параболы на отрезке $[-2, 0]$ и луча для $x>0$. В точке $x=0$ происходит разрыв.

Ответ: График состоит из дуги параболы $y=2(x+1)^2$ на отрезке $[-2, 0]$ и луча $y=x+1$ на интервале $(0, +\infty)$.

в) перечислите свойства функции.

1. Область определения: $D(f) = [-2, 0] \cup (0, +\infty) = [-2, +\infty)$.

2. Область значений: На промежутке $[-2, 0]$ значения функции принадлежат отрезку $[0, 2]$. На промежутке $(0, +\infty)$ значения принадлежат интервалу $(1, +\infty)$. Объединение этих множеств дает область значений $E(f) = [0, +\infty)$.

3. Четность и нечетность: Область определения функции несимметрична относительно начала координат, поэтому функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

4. Нули функции: $f(x) = 0$ при $2(x+1)^2 = 0$, откуда $x=-1$. Этот корень принадлежит области определения. Таким образом, у функции один нуль: $x=-1$.

5. Промежутки знакопостоянства: Так как $f(x) \ge 0$ для всех $x$ из области определения, функция неотрицательна. $f(x) > 0$ при $x \in [-2, -1) \cup (-1, +\infty)$.

6. Промежутки монотонности:
- функция убывает на промежутке $[-2, -1]$;
- функция возрастает на промежутках $[-1, 0]$ и $(0, +\infty)$.

7. Экстремумы функции:
- $x=-1$ — точка минимума (глобального). $y_{min} = f(-1) = 0$.
- $x=-2$ — точка локального максимума. $f(-2) = 2$.
- $x=0$ — точка локального максимума. $f(0) = 2$.
- Глобального максимума нет.

8. Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения за исключением точки $x=0$. В точке $x=0$ функция терпит разрыв первого рода (скачок), так как $\lim_{x\to 0^-} f(x) = 2$, а $\lim_{x\to 0^+} f(x) = 1$.

Ответ: Свойства функции (область определения и значений, четность, нули, знакопостоянство, монотонность, экстремумы, непрерывность) подробно описаны выше.

10.17 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} x - 1, \text{ если } -2 \le x \le 0; \\ 2x^2 + 4x - 1, \text{ если } x > 0. \end{cases}$

a) Найдите: $f(-2)$; $f(0)$; $f(5)$;

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) перечислите свойства функции.

а) Найдите: f(-2); f(0); f(5);

Для нахождения значений функции $f(x)$ необходимо определить, какому промежутку принадлежит аргумент $x$ и использовать соответствующую формулу.

• Чтобы найти $f(-2)$, заметим, что $x = -2$ удовлетворяет условию $-2 \le x \le 0$.
  Следовательно, используем первую формулу $f(x) = x - 1$:
  $f(-2) = -2 - 1 = -3$.

• Чтобы найти $f(0)$, заметим, что $x = 0$ удовлетворяет условию $-2 \le x \le 0$.
  Следовательно, используем ту же формулу $f(x) = x - 1$:
  $f(0) = 0 - 1 = -1$.

• Чтобы найти $f(5)$, заметим, что $x = 5$ удовлетворяет условию $x > 0$.
  Следовательно, используем вторую формулу $f(x) = 2x^2 + 4x - 1$:
  $f(5) = 2 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5 - 1 = 2 \cdot 25 + 20 - 1 = 50 + 20 - 1 = 69$.

Ответ: $f(-2) = -3$; $f(0) = -1$; $f(5) = 69$.

б) постройте график функции y = f(x);

График функции состоит из двух частей.

1. На промежутке $[-2, 0]$ функция задается формулой $y = x - 1$. Это линейная функция, её график — отрезок прямой. Для построения отрезка найдем координаты его концов:

• При $x = -2$, $y = -2 - 1 = -3$. Координаты первой точки: $(-2, -3)$.
• При $x = 0$, $y = 0 - 1 = -1$. Координаты второй точки: $(0, -1)$.

Обе точки принадлежат графику, так как неравенство $-2 \le x \le 0$ нестрогое.

2. На промежутке $x > 0$ функция задается формулой $y = 2x^2 + 4x - 1$. Это квадратичная функция, её график — часть параболы, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше нуля).

Найдем координаты вершины параболы: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$. $y_в = 2(-1)^2 + 4(-1) - 1 = 2 - 4 - 1 = -3$. Вершина параболы находится в точке $(-1, -3)$, которая не входит в рассматриваемый промежуток $x > 0$.

Так как $x_в = -1$, то на всем промежутке $(0, \infty)$ функция возрастает. Найдем, к какому значению стремится функция при $x$, стремящемся к 0 справа: $\lim_{x \to 0^+} (2x^2 + 4x - 1) = -1$. Это означает, что вторая часть графика начинается в точке $(0, -1)$. Так как неравенство $x > 0$ строгое, эта точка является "выколотой" для этой части графика.

Однако первая часть графика заканчивается в этой же точке $(0, -1)$, и она принадлежит графику. Таким образом, на границе $x=0$ части графика стыкуются, и функция является непрерывной.

Для более точного построения параболы найдем еще одну точку, например, при $x = 1$: $y = 2(1)^2 + 4(1) - 1 = 5$. Точка $(1, 5)$.

Ответ: График функции $y=f(x)$ представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки $(-2, -3)$ и $(0, -1)$, и примыкающую к нему в точке $(0, -1)$ часть параболы $y = 2x^2 + 4x - 1$, уходящую вверх и вправо, проходящую, например, через точку $(1, 5)$.

в) перечислите свойства функции.

1. Область определения функции $D(f)$: $[-2, \infty)$.

2. Область значений функции $E(f)$: $[-3, \infty)$.

3. Четность: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее область определения не симметрична относительно нуля.

4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Решим уравнение $f(x)=0$:

   • На $[-2, 0]$: $x - 1 = 0 \Rightarrow x=1$. Корень не принадлежит промежутку.

   • На $(0, \infty)$: $2x^2 + 4x - 1 = 0$. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 16 + 8 = 24$. Корни: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{6}}{2}$. Условию $x>0$ удовлетворяет только корень $x = \frac{-2 + \sqrt{6}}{2}$. Это единственный нуль функции.

5. Промежутки знакопостоянства:

   • $f(x) > 0$ при $x \in (\frac{\sqrt{6}-2}{2}, \infty)$.

   • $f(x) < 0$ при $x \in [-2, \frac{\sqrt{6}-2}{2})$.

6. Монотонность: функция возрастает на всей области определения $[-2, \infty)$.

7. Экстремумы: функция не имеет точек локального максимума или минимума. Наименьшее значение функции $y_{min} = f(-2) = -3$. Наибольшего значения не существует.

8. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения $[-2, \infty)$.

Ответ:
1. Область определения: $D(f) = [-2, \infty)$.
2. Область значений: $E(f) = [-3, \infty)$.
3. Функция общего вида.
4. Нуль функции: $x = \frac{\sqrt{6}-2}{2}$.
5. $f(x) > 0$ при $x \in (\frac{\sqrt{6}-2}{2}, \infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in [-2, \frac{\sqrt{6}-2}{2})$.
6. Функция возрастает на $[-2, \infty)$.
7. Наименьшее значение $y_{min} = -3$ при $x=-2$; наибольшего значения нет.
8. Функция непрерывна на $[-2, \infty)$.

Докажите, что функция возрастает:

10.18 a) $y = x^3 + 3x;$

б) $y = x^4 + 3x, x \ge 0;$

в) $y = 2x^3 + x;$

г) $y = 2x^4 + x, x \ge 0;$

а) $y = x^3 + 3x$

Для доказательства того, что функция возрастает, найдем ее производную. Функция является возрастающей на промежутке, если ее производная на этом промежутке положительна.

Найдем производную функции $y(x) = x^3 + 3x$:

$y' = (x^3 + 3x)' = (x^3)' + (3x)' = 3x^2 + 3$.

Проанализируем знак производной $y' = 3x^2 + 3$. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного числа $x$, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, $3x^2 \ge 0$.

Тогда $y' = 3x^2 + 3 \ge 3$, что означает, что производная всегда строго положительна ($y' > 0$) для любого значения $x$.

Поскольку производная функции положительна на всей области определения, функция $y = x^3 + 3x$ является возрастающей на всей числовой оси.

Ответ: Функция возрастает на всей числовой оси, так как ее производная $y' = 3x^2 + 3$ всегда положительна.

б) $y = x^4 + 3x, x \ge 0$

Найдем производную функции $y(x) = x^4 + 3x$ для исследования на монотонность:

$y' = (x^4 + 3x)' = (x^4)' + (3x)' = 4x^3 + 3$.

Проанализируем знак производной $y' = 4x^3 + 3$ на заданном промежутке $x \ge 0$.

Если $x \ge 0$, то $x^3 \ge 0$, и следовательно $4x^3 \ge 0$.

Тогда $y' = 4x^3 + 3 \ge 3$, то есть производная строго положительна ($y' > 0$) для всех $x \ge 0$.

Так как производная функции положительна на промежутке $[0, +\infty)$, функция $y = x^4 + 3x$ возрастает при $x \ge 0$.

Ответ: Функция возрастает при $x \ge 0$, так как ее производная $y' = 4x^3 + 3$ положительна на этом промежутке.

в) $y = 2x^3 + x$

Найдем производную функции $y(x) = 2x^3 + x$:

$y' = (2x^3 + x)' = (2x^3)' + (x)' = 2 \cdot 3x^2 + 1 = 6x^2 + 1$.

Проанализируем знак производной $y' = 6x^2 + 1$. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, $x^2 \ge 0$. Следовательно, $6x^2 \ge 0$.

Тогда $y' = 6x^2 + 1 \ge 1$, то есть производная всегда строго положительна ($y' > 0$) для всех $x$ из области определения функции.

Поскольку производная функции положительна на всей числовой оси, функция $y = 2x^3 + x$ возрастает на всей области определения.

Ответ: Функция возрастает на всей числовой оси, так как ее производная $y' = 6x^2 + 1$ всегда положительна.

г) $y = 2x^4 + x, x \ge 0$

Найдем производную функции $y(x) = 2x^4 + x$:

$y' = (2x^4 + x)' = (2x^4)' + (x)' = 2 \cdot 4x^3 + 1 = 8x^3 + 1$.

Проанализируем знак производной $y' = 8x^3 + 1$ на заданном промежутке $x \ge 0$.

Если $x \ge 0$, то $x^3 \ge 0$, и следовательно $8x^3 \ge 0$.

Тогда $y' = 8x^3 + 1 \ge 1$, то есть производная строго положительна ($y' > 0$) для всех $x \ge 0$.

Так как производная функции положительна на промежутке $[0, +\infty)$, функция $y = 2x^4 + x$ возрастает при $x \ge 0$.

Ответ: Функция возрастает при $x \ge 0$, так как ее производная $y' = 8x^3 + 1$ положительна на этом промежутке.

10.19 a) $y = \frac{x-5}{x+3}$, $x > -3$;

В) $y = \frac{x+3}{1-x}$, $x > 1$;

Б) $y = \frac{3-2x}{1-x}$, $x < 1$;

Г) $y = \frac{6-4x}{2-x}$, $x < 2$.

Дана функция $y = \frac{x-5}{x+3}$ с областью определения $x > -3$. Чтобы найти множество значений функции, выразим переменную $x$ через $y$.

$y(x+3) = x-5$

$yx + 3y = x - 5$

$yx - x = -3y - 5$

$x(y-1) = -3y - 5$

Если $y \neq 1$, то $x = \frac{-3y-5}{y-1} = \frac{3y+5}{1-y}$.

Используем заданное ограничение на $x$: $x > -3$.

$\frac{3y+5}{1-y} > -3$

$\frac{3y+5}{1-y} + 3 > 0$

$\frac{3y+5 + 3(1-y)}{1-y} > 0$

$\frac{3y+5+3-3y}{1-y} > 0$

$\frac{8}{1-y} > 0$

Так как числитель $8$ положителен, для выполнения неравенства знаменатель также должен быть положителен:

$1-y > 0$, что равносильно $y < 1$.

Ответ: $y \in (-\infty; 1)$.

Дана функция $y = \frac{3-2x}{1-x}$ с областью определения $x < 1$. Выразим $x$ через $y$:

$y(1-x) = 3-2x$

$y-yx = 3-2x$

$2x-yx = 3-y$

$x(2-y) = 3-y$

Если $y \neq 2$, то $x = \frac{3-y}{2-y}$.

Используем заданное ограничение на $x$: $x < 1$.

$\frac{3-y}{2-y} < 1$

$\frac{3-y}{2-y} - 1 < 0$

$\frac{3-y - (2-y)}{2-y} < 0$

$\frac{3-y-2+y}{2-y} < 0$

$\frac{1}{2-y} < 0$

Так как числитель $1$ положителен, для выполнения неравенства знаменатель должен быть отрицателен:

$2-y < 0$, что равносильно $y > 2$.

Ответ: $y \in (2; +\infty)$.

Дана функция $y = \frac{x+3}{1-x}$ с областью определения $x > 1$. Выразим $x$ через $y$:

$y(1-x) = x+3$

$y-yx = x+3$

$y-3 = x+yx$

$y-3 = x(1+y)$

Если $y \neq -1$, то $x = \frac{y-3}{y+1}$.

Используем заданное ограничение на $x$: $x > 1$.

$\frac{y-3}{y+1} > 1$

$\frac{y-3}{y+1} - 1 > 0$

$\frac{y-3 - (y+1)}{y+1} > 0$

$\frac{y-3-y-1}{y+1} > 0$

$\frac{-4}{y+1} > 0$

Так как числитель $-4$ отрицателен, для выполнения неравенства знаменатель также должен быть отрицателен:

$y+1 < 0$, что равносильно $y < -1$.

Ответ: $y \in (-\infty; -1)$.

Дана функция $y = \frac{6-4x}{2-x}$ с областью определения $x < 2$. Выразим $x$ через $y$:

$y(2-x) = 6-4x$

$2y-yx = 6-4x$

$4x-yx = 6-2y$

$x(4-y) = 6-2y$

Если $y \neq 4$, то $x = \frac{6-2y}{4-y}$.

Используем заданное ограничение на $x$: $x < 2$.

$\frac{6-2y}{4-y} < 2$

$\frac{6-2y}{4-y} - 2 < 0$

$\frac{6-2y - 2(4-y)}{4-y} < 0$

$\frac{6-2y-8+2y}{4-y} < 0$

$\frac{-2}{4-y} < 0$

Так как числитель $-2$ отрицателен, для выполнения неравенства знаменатель должен быть положителен:

$4-y > 0$, что равносильно $y < 4$.

Ответ: $y \in (-\infty; 4)$.