Страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

9.7 Функция задана формулой $s = 90t$, где $s$ — путь (в км) и $t$ — время (в ч).

а) Найдите $s(1), s(2,5), s(4)$;

б) найдите $t$, если $s = 1800$ км;

в) найдите $s$, если $t = 15$ мин;

г) найдите $t$ (в мин), если $s = 450$ м.

Функция задана формулой $s = 90t$, где $s$ — путь в километрах (км), а $t$ — время в часах (ч).

а) Чтобы найти значения $s(1)$, $s(2,5)$ и $s(4)$, нужно подставить соответствующие значения времени $t$ (в часах) в заданную формулу.

При $t = 1$ ч:
$s(1) = 90 \cdot 1 = 90$ (км).

При $t = 2,5$ ч:
$s(2,5) = 90 \cdot 2,5 = 225$ (км).

При $t = 4$ ч:
$s(4) = 90 \cdot 4 = 360$ (км).

Ответ: $s(1) = 90$ км, $s(2,5) = 225$ км, $s(4) = 360$ км.

б) Чтобы найти $t$, если известно, что $s = 1800$ км, нужно выразить $t$ из формулы $s = 90t$ и подставить значение $s$.

Из формулы $s = 90t$ следует, что $t = \frac{s}{90}$.
Подставляем значение $s = 1800$ км:
$t = \frac{1800}{90} = 20$ (ч).

Ответ: $t = 20$ ч.

в) Чтобы найти $s$, если $t = 15$ мин, сначала необходимо перевести время из минут в часы, так как в формуле $t$ измеряется в часах.

В одном часе 60 минут, поэтому:
$t = 15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч} = 0,25 \text{ ч}$.

Теперь подставляем это значение в исходную формулу:
$s = 90 \cdot 0,25 = 22,5$ (км).

Ответ: $s = 22,5$ км.

г) Чтобы найти $t$ (в минутах), если $s = 450$ м, необходимо сначала перевести путь из метров в километры, так как в формуле $s$ измеряется в километрах.

В одном километре 1000 метров, поэтому:
$s = 450 \text{ м} = \frac{450}{1000} \text{ км} = 0,45 \text{ км}$.

Теперь найдем время $t$ в часах, используя формулу $t = \frac{s}{90}$:
$t = \frac{0,45}{90} = \frac{45}{9000} = \frac{1}{200} = 0,005$ (ч).

По условию, время нужно выразить в минутах. Переведем часы в минуты, умножив на 60:
$t = 0,005 \cdot 60 = 0,3$ (мин).

Ответ: $t = 0,3$ мин.

9.8 Функция задана формулой $t = \frac{s}{12}$, где s — путь (в км) и t — время (в ч).

а) Найдите $t(36)$, $t(2.7)$, $t(144)$;

б) найдите s, если $t = 4.5$ ч;

в) найдите t, если $s = 150$ м;

г) найдите s (в м), если $t = 45$ с.

Функция задана формулой $t = \frac{s}{12}$, где $s$ — путь в километрах (км), а $t$ — время в часах (ч). Это означает, что рассматривается движение с постоянной скоростью $v = 12$ км/ч.

а) найдите $t(36)$, $t(2,7)$, $t(144)$

Чтобы найти значения функции для заданных значений $s$, подставим их в формулу $t = \frac{s}{12}$.

• При $s = 36$ км:

  $t(36) = \frac{36}{12} = 3$ (ч).

• При $s = 2,7$ км:

  $t(2,7) = \frac{2,7}{12} = \frac{27}{120} = \frac{9}{40} = 0,225$ (ч).

• При $s = 144$ км:

  $t(144) = \frac{144}{12} = 12$ (ч).

Ответ: $t(36) = 3$ ч; $t(2,7) = 0,225$ ч; $t(144) = 12$ ч.

б) найдите s, если t = 4,5 ч

Чтобы найти $s$, выразим его из исходной формулы. Для этого умножим обе части уравнения $t = \frac{s}{12}$ на 12:

$s = 12 \cdot t$

Теперь подставим заданное значение $t = 4,5$ ч:

$s = 12 \cdot 4,5 = 54$ (км).

Ответ: $s = 54$ км.

в) найдите t, если s = 150 м

В исходной формуле расстояние $s$ измеряется в километрах. Поэтому сначала переведем 150 метров в километры.

Так как 1 км = 1000 м, то:

$s = 150 \text{ м} = \frac{150}{1000} \text{ км} = 0,15$ км.

Теперь подставим это значение $s$ в формулу для нахождения времени $t$ (в часах):

$t = \frac{0,15}{12} = \frac{15}{1200} = \frac{1}{80}$ (ч).

Для наглядности можно перевести это время в секунды: $t = \frac{1}{80} \text{ ч} \cdot 3600 \frac{\text{с}}{\text{ч}} = 45$ с.

Ответ: $t = \frac{1}{80}$ ч (или 45 с).

г) найдите s (в м), если t = 45 с

В исходной формуле время $t$ измеряется в часах. Поэтому сначала переведем 45 секунд в часы.

Так как 1 ч = 3600 с, то:

$t = 45 \text{ с} = \frac{45}{3600} \text{ ч} = \frac{1}{80}$ ч.

Теперь найдем расстояние $s$ (в километрах), используя формулу $s = 12t$ из пункта б):

$s = 12 \cdot \frac{1}{80} = \frac{12}{80} = \frac{3}{20}$ (км).

По условию требуется найти расстояние в метрах. Переведем километры в метры:

$s = \frac{3}{20} \text{ км} \cdot 1000 \frac{\text{м}}{\text{км}} = 3 \cdot 50 \text{ м} = 150$ м.

Ответ: $s = 150$ м.

9.9 Постройте график функции, заданной таблицей:

a)

б)

а)

Для построения графика функции, заданной таблицей, необходимо нанести точки с координатами $(x, y)$ из таблицы на координатную плоскость и соединить их плавной линией. Таблица задает следующие точки:
При $x=0$, $y=1$. Точка $(0, 1)$.
При $x=1$, $y=2$. Точка $(1, 2)$.
При $x=2$, $y=4$. Точка $(2, 4)$.
При $x=3$, $y=8$. Точка $(3, 8)$.
При $x=4$, $y=16$. Точка $(4, 16)$.

Проанализируем зависимость между $y$ и $x$. Заметим, что при увеличении $x$ на 1, значение $y$ удваивается. Это соответствует показательной (экспоненциальной) функции вида $y = a^x$.
Подставим первую точку для нахождения $a$: при $x=1$ имеем $y=2$, следовательно, $2 = a^1$, откуда основание степени $a=2$.
Получаем предполагаемую формулу функции: $y = 2^x$.
Проверим ее для остальных точек:
$x=0: y = 2^0 = 1$ (верно)
$x=2: y = 2^2 = 4$ (верно)
$x=3: y = 2^3 = 8$ (верно)
$x=4: y = 2^4 = 16$ (верно)
Следовательно, таблицей задана функция $y = 2^x$.

Для построения графика нужно начертить систему координат $Oxy$, отметить на ней точки $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$, $(3, 8)$ и $(4, 16)$, а затем соединить их плавной возрастающей кривой. График пересекает ось $Oy$ в точке $(0,1)$ и быстро растет при увеличении $x$.

Ответ: Графиком функции является кривая, проходящая через точки $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$, $(3, 8)$, $(4, 16)$, которая является частью графика показательной функции $y = 2^x$.

б)

Для построения графика нанесем на координатную плоскость точки, координаты которых даны в таблице. Таблица задает следующие точки:
При $x=0,5$, $y=6$. Точка $(0.5, 6)$.
При $x=1$, $y=3$. Точка $(1, 3)$.
При $x=1,5$, $y=2$. Точка $(1.5, 2)$.
При $x=3$, $y=1$. Точка $(3, 1)$.
При $x=6$, $y=0,5$. Точка $(6, 0.5)$.

Проанализируем зависимость между $y$ и $x$. Заметим, что произведение $x \cdot y$ для каждой пары значений постоянно:
$0,5 \cdot 6 = 3$
$1 \cdot 3 = 3$
$1,5 \cdot 2 = 3$
$3 \cdot 1 = 3$
$6 \cdot 0,5 = 3$
Это соответствует функции обратной пропорциональности вида $y = k/x$, где коэффициент $k = 3$. Таким образом, формула функции: $y = 3/x$.

Для построения графика нужно начертить систему координат $Oxy$. Так как все значения $x$ и $y$ положительны, график будет расположен в первой координатной четверти. Затем нужно отметить на плоскости точки $(0.5, 6)$, $(1, 3)$, $(1.5, 2)$, $(3, 1)$, $(6, 0.5)$ и соединить их плавной кривой. Эта кривая является ветвью гиперболы. Она будет асимптотически приближаться к оси $Oy$ при $x \to 0$ и к оси $Ox$ при $x \to \infty$.

Ответ: Графиком функции является кривая, проходящая через точки $(0.5, 6)$, $(1, 3)$, $(1.5, 2)$, $(3, 1)$, $(6, 0.5)$, которая представляет собой ветвь гиперболы $y = 3/x$, расположенную в первой координатной четверти.

9.10 В таблице представлены значения температуры воздуха в течение 10 дней декабря. Постройте график изменения температуры.

Число: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Температура: $-2^\circ$, $-3^\circ$, $0^\circ$, $0^\circ$, $+2^\circ$, $+1^\circ$, $-7^\circ$, $-6^\circ$, $-7^\circ$, $-7^\circ$

Для того чтобы построить график изменения температуры на основе данных из таблицы, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Подготовка координатной плоскости. Начертим систему координат. Горизонтальную ось (ось абсцисс) назовем «Число» и отложим на ней значения от 1 до 10, которые соответствуют дням декады. Вертикальную ось (ось ординат) назовем «Температура, °C». На ней отложим значения температуры. Поскольку значения в таблице меняются от $-7^\circ$ до $+2^\circ$, для удобства и наглядности выберем на оси диапазон, например, от $-8^\circ$ до $+3^\circ$.
2. Нанесение точек на график. Каждой паре значений «Число» — «Температура» из таблицы соответствует точка на координатной плоскости. Координаты точки будут $(x, y)$, где $x$ — это номер дня, а $y$ — значение температуры. Отметим все точки по данным из таблицы:
   • День 1: $(1, -2)$
   • День 2: $(2, -3)$
   • День 3: $(3, 0)$
   • День 4: $(4, 0)$
   • День 5: $(5, 2)$
   • День 6: $(6, 1)$
   • День 7: $(7, -7)$
   • День 8: $(8, -6)$
   • День 9: $(9, -7)$
   • День 10: $(10, -7)$
3. Построение ломаной линии. Соединим последовательно все отмеченные точки отрезками прямой. В результате получится ломаная линия, которая и является графиком изменения температуры за 10 дней.

График изменения температуры:

На представленном графике синяя ломаная линия показывает динамику изменения температуры. Красными точками отмечены точные значения температуры для каждого дня в соответствии с исходной таблицей.

Ответ: График изменения температуры построен и представлен выше.

9.11 Решите графически уравнение:

а) $-x^2 + 4 = (x - 2)^2;$

б) $x + 1 = (x - 1)^2;$

в) $x^2 - 4 = -(x + 2)^2;$

г) $x^2 - 3 = \sqrt{x - 1}.$

Для графического решения уравнения необходимо построить графики функций, соответствующих левой и правой частям уравнения, и найти абсциссы (координаты $x$) точек их пересечения.

а) $-x^2 + 4 = (x - 2)^2$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y = -x^2 + 4$ и $y = (x - 2)^2$.

1. График функции $y = -x^2 + 4$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Она получена из графика $y = -x^2$ сдвигом на 4 единицы вверх по оси $Oy$. Вершина параболы находится в точке $(0; 4)$.

2. График функции $y = (x - 2)^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Она получена из графика $y = x^2$ сдвигом на 2 единицы вправо по оси $Ox$. Вершина параболы находится в точке $(2; 0)$.

Построим графики. Для $y = -x^2 + 4$ найдем несколько точек: если $x=0, y=4$; если $x=2, y=0$; если $x=-2, y=0$. Для $y = (x-2)^2$: если $x=2, y=0$; если $x=0, y=4$; если $x=1, y=1$.

Графики пересекаются в двух точках. По построенным графикам определяем их координаты: $(0; 4)$ и $(2; 0)$. Абсциссы этих точек равны $0$ и $2$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2$.

б) $x + 1 = (x - 1)^2$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x + 1$ и $y = (x - 1)^2$.

1. График функции $y = x + 1$ — это прямая линия. Для построения достаточно двух точек, например, $(0; 1)$ и $(-1; 0)$.

2. График функции $y = (x - 1)^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Она получена из графика $y = x^2$ сдвигом на 1 единицу вправо по оси $Ox$. Вершина параболы находится в точке $(1; 0)$.

Построим графики. Для $y = (x - 1)^2$ найдем несколько точек: если $x=1, y=0$; если $x=0, y=1$; если $x=2, y=1$; если $x=3, y=4$. Прямая $y=x+1$ проходит через точки $(0; 1)$ и $(3; 4)$.

Графики пересекаются в двух точках. По построенным графикам определяем их координаты: $(0; 1)$ и $(3; 4)$. Абсциссы этих точек равны $0$ и $3$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 3$.

в) $x^2 - 4 = -(x + 2)^2$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2 - 4$ и $y = -(x + 2)^2$.

1. График функции $y = x^2 - 4$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Она получена из графика $y = x^2$ сдвигом на 4 единицы вниз по оси $Oy$. Вершина параболы находится в точке $(0; -4)$.

2. График функции $y = -(x + 2)^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Она получена из графика $y = -x^2$ сдвигом на 2 единицы влево по оси $Ox$. Вершина параболы находится в точке $(-2; 0)$.

Построим графики. Для $y = x^2 - 4$ найдем несколько точек: если $x=0, y=-4$; если $x=2, y=0$; если $x=-2, y=0$. Для $y = -(x+2)^2$: если $x=-2, y=0$; если $x=0, y=-4$; если $x=-1, y=-1$.

Графики пересекаются в двух точках. По построенным графикам определяем их координаты: $(-2; 0)$ и $(0; -4)$. Абсциссы этих точек равны $-2$ и $0$.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 0$.

г) $x^2 - 3 = \sqrt{x - 1}$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2 - 3$ и $y = \sqrt{x - 1}$.

1. График функции $y = x^2 - 3$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Она получена из графика $y = x^2$ сдвигом на 3 единицы вниз по оси $Oy$. Вершина параболы находится в точке $(0; -3)$.

2. График функции $y = \sqrt{x - 1}$ — это ветвь параболы, симметричная графику $y = x^2$ ($x \ge 0$) относительно прямой $y=x$ и сдвинутая на 1 единицу вправо по оси $Ox$. Область определения этой функции $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. График начинается в точке $(1; 0)$.

Построим графики. Для $y = x^2 - 3$ возьмем точки: $(1; -2)$, $(2; 1)$, $(0; -3)$. Для $y = \sqrt{x-1}$ возьмем точки: $(1; 0)$, $(2; 1)$, $(5; 2)$.

Графики пересекаются в одной точке. По построенным графикам определяем ее координаты: $(2; 1)$. Абсцисса этой точки равна $2$.

Ответ: $x = 2$.