Страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

8.36 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} x + 1, & \text{если } -3 \le x \le 0; \\ x^2 - 4x + 1, & \text{если } 0 < x \le 2; \\ \frac{2}{x}, & \text{если } x > 2. \end{cases}$

а) Укажите $D(f)$;

б) вычислите: $f(-5)$, $f(-2)$, $f(0)$, $f(2)$, $f(4)$;

в) постройте график функции;

г) найдите $E(f)$.

а) Укажите D(f);

Область определения функции $D(f)$ — это объединение всех интервалов, на которых задана функция.
Функция задана на трех интервалах:
1. $[-3, 0]$
2. $(0, 2]$
3. $(2, +\infty)$
Объединим эти интервалы, чтобы найти полную область определения:
$D(f) = [-3, 0] \cup (0, 2] \cup (2, +\infty)$.
Объединение первых двух интервалов $[-3, 0] \cup (0, 2]$ дает нам интервал $[-3, 2]$.
Теперь объединим результат с третьим интервалом: $[-3, 2] \cup (2, +\infty)$.
Это объединение включает все числа от -3 (включительно) и больше.
Таким образом, область определения функции: $D(f) = [-3, +\infty)$.
Ответ: $D(f) = [-3, +\infty)$.

б) вычислите: f(-5), f(-2), f(0), f(2), f(4);

Для вычисления значений функции нужно определить, в какой интервал области определения попадает аргумент $x$ и использовать соответствующую формулу.
• $f(-5)$: Число -5 не принадлежит области определения $D(f) = [-3, +\infty)$, поэтому значение функции в этой точке не определено.
• $f(-2)$: Так как $-3 \le -2 \le 0$, используем первую формулу $f(x) = x + 1$.
$f(-2) = -2 + 1 = -1$.
• $f(0)$: Так как $-3 \le 0 \le 0$, используем первую формулу $f(x) = x + 1$.
$f(0) = 0 + 1 = 1$.
• $f(2)$: Так как $0 < 2 \le 2$, используем вторую формулу $f(x) = x^2 - 4x + 1$.
$f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$.
• $f(4)$: Так как $4 > 2$, используем третью формулу $f(x) = \frac{2}{x}$.
$f(4) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $f(-5)$ не определено, $f(-2) = -1$, $f(0) = 1$, $f(2) = -3$, $f(4) = 0.5$.

в) постройте график функции;

График функции состоит из трех частей, соответствующих трем интервалам определения.

1. На отрезке $[-3, 0]$ функция имеет вид $y = x + 1$. Это график прямой линии. Найдем значения на концах отрезка:
• При $x = -3$, $y = -3 + 1 = -2$. Получаем точку $(-3, -2)$.
• При $x = 0$, $y = 0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0, 1)$.
Строим отрезок, соединяющий точки $(-3, -2)$ и $(0, 1)$. Обе точки закрашены, так как концы отрезка включены.

2. На полуинтервале $(0, 2]$ функция имеет вид $y = x^2 - 4x + 1$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх.
• Найдем вершину параболы: $x_в = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. Значение функции в вершине: $y_в = 2^2 - 4 \cdot 2 + 1 = -3$. Координаты вершины $(2, -3)$. Эта точка принадлежит графику, так как $x = 2$ входит в интервал, и она закрашена.
• Найдем предел функции при $x \to 0^+$: $\lim_{x\to 0^+} (x^2 - 4x + 1) = 1$. График подходит к точке $(0, 1)$. Так как в первой части графика точка $(0, 1)$ уже есть (и она закрашена), то разрыва в этой точке нет, и график является непрерывным.
Строим дугу параболы от точки $(0, 1)$ до вершины $(2, -3)$.

3. На интервале $(2, +\infty)$ функция имеет вид $y = \frac{2}{x}$. Это часть гиперболы.
• Найдем предел функции при $x \to 2^+$: $\lim_{x\to 2^+} \frac{2}{x} = \frac{2}{2} = 1$. График начинается от точки $(2, 1)$, которая не принадлежит графику (выколотая точка), так как $x > 2$.
• При $x \to +\infty$, $y = \frac{2}{x} \to 0$. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой для этой части графика.
• Возьмем контрольную точку, например, $x=4$, $y = \frac{2}{4} = 0.5$. Точка $(4, 0.5)$ лежит на графике.
Строим ветвь гиперболы, которая начинается в выколотой точке $(2, 1)$ и стремится к оси $Ox$ при увеличении $x$.

В точке $x=2$ функция имеет разрыв скачка: $f(2)=-3$, а предел справа $\lim_{x\to 2^+} f(x) = 1$.
Ответ: График состоит из отрезка прямой от $(-3, -2)$ до $(0, 1)$, дуги параболы от $(0, 1)$ до $(2, -3)$ (включая концы), и ветви гиперболы, начинающейся в выколотой точке $(2, 1)$ и асимптотически приближающейся к оси абсцисс.

г) найдите E(f).

Область значений функции $E(f)$ — это множество всех значений, которые принимает функция $y = f(x)$ на своей области определения. Найдем область значений для каждой части функции.

1. На отрезке $[-3, 0]$ функция $y = x+1$ является линейной и возрастающей. Её значения изменяются от $f(-3)$ до $f(0)$.
$f(-3) = -2$, $f(0) = 1$.
Область значений на этом участке: $[-2, 1]$.

2. На полуинтервале $(0, 2]$ функция $y = x^2 - 4x + 1$ (парабола с вершиной в $x=2$) убывает от $\lim_{x\to 0^+} f(x)$ до $f(2)$.
$\lim_{x\to 0^+} (x^2 - 4x + 1) = 1$.
$f(2) = -3$.
Область значений на этом участке: $[-3, 1)$.

3. На интервале $(2, +\infty)$ функция $y = \frac{2}{x}$ является убывающей.
При $x \to 2^+$, значение $y \to 1$. При $x \to +\infty$, значение $y \to 0$.
Область значений на этом участке: $(0, 1)$.

Общая область значений $E(f)$ является объединением областей значений всех трех частей:
$E(f) = [-2, 1] \cup [-3, 1) \cup (0, 1)$.
Объединяя эти множества, мы видим, что наименьшее значение равно -3 (достигается при $x=2$), а наибольшее значение равно 1 (достигается при $x=0$). Все значения между -3 и 1 также принимаются функцией.
Итоговое объединение: $E(f) = [-3, 1]$.
Ответ: $E(f) = [-3, 1]$.

8.37 Постройте график функции $y = \sqrt{x-3} + \sqrt{3-x} + x.$

Для того чтобы построить график функции $y = \sqrt{x-3} + \sqrt{3-x} + x$, первым шагом найдем ее область определения. Функция определена только для тех значений $x$, при которых выражения под знаком квадратного корня неотрицательны. Это приводит нас к системе неравенств:

$ \begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ 3 - x \ge 0 \end{cases} $

Решим эту систему:

$ \begin{cases} x \ge 3 \\ x \le 3 \end{cases} $

Единственное значение $x$, которое удовлетворяет обоим неравенствам одновременно, это $x = 3$. Следовательно, область определения данной функции состоит из одной-единственной точки.

Теперь найдем значение функции $y$ в этой точке, подставив $x = 3$ в исходное уравнение:

$y(3) = \sqrt{3-3} + \sqrt{3-3} + 3 = \sqrt{0} + \sqrt{0} + 3 = 0 + 0 + 3 = 3$.

Таким образом, график данной функции состоит из одной точки с координатами $(3; 3)$.

Ответ: Графиком функции является точка с координатами $(3; 3)$.

8.38 Постройте график функции $y = (-1)^x \cdot x$, $x \in N$.

Для построения графика функции $y = (-1)^x \cdot x$, где $x \in \mathbb{N}$ (множество натуральных чисел), необходимо проанализировать ее поведение для различных значений $x$.

Область определения функции — это множество натуральных чисел, то есть $x = 1, 2, 3, 4, \dots$. Это означает, что график будет состоять из набора отдельных (изолированных) точек, а не из сплошной линии.

Значение функции зависит от четности аргумента $x$, так как множитель $(-1)^x$ равен $1$ для четных $x$ и $-1$ для нечетных $x$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x$ — нечетное натуральное число ($x = 1, 3, 5, \dots$).
   В этом случае $(-1)^x = -1$. Функция принимает вид: $y = -1 \cdot x = -x$.
   Точки графика для нечетных $x$ будут лежать на прямой $y = -x$.
2. Если $x$ — четное натуральное число ($x = 2, 4, 6, \dots$).
   В этом случае $(-1)^x = 1$. Функция принимает вид: $y = 1 \cdot x = x$.
   Точки графика для четных $x$ будут лежать на прямой $y = x$.

Составим таблицу значений для первых нескольких натуральных $x$, чтобы наглядно представить расположение точек:

Для построения графика нужно отметить вычисленные точки на координатной плоскости. Точки $(1, -1), (3, -3), (5, -5), \dots$ лежат на прямой $y=-x$ (биссектриса II и IV координатных углов). Точки $(2, 2), (4, 4), (6, 6), \dots$ лежат на прямой $y=x$ (биссектриса I и III координатных углов).

Ответ: График функции $y = (-1)^x \cdot x$ при $x \in \mathbb{N}$ представляет собой бесконечный набор изолированных точек. Точки с нечетными натуральными абсциссами $(1, -1), (3, -3), (5, -5), \dots$ лежат на прямой $y = -x$. Точки с четными натуральными абсциссами $(2, 2), (4, 4), (6, 6), \dots$ лежат на прямой $y=x$.

Является ли графическим заданием какой-либо функции фигура, изображённая:

9.1 а) На рис. 13; в) на рис. 15;

б) на рис. 14; г) на рис. 16?

Puc. 13

Puc. 14

Puc. 15

Puc. 16

Для того чтобы определить, является ли изображенная фигура графиком функции, необходимо воспользоваться определением функции. Функция — это такое правило, по которому каждому значению независимой переменной (аргумента x) из некоторого множества (области определения) ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной (функции y).

Проверить, является ли кривая графиком функции, можно с помощью теста вертикальной линией: если любая вертикальная прямая, параллельная оси y, пересекает график не более чем в одной точке, то этот график задает функцию. Если найдется хотя бы одна вертикальная прямая, которая пересекает график в двух или более точках, то это не график функции.

а) На рис. 13;

Применим тест вертикальной линией к графику на рисунке 13. Какую бы вертикальную прямую мы ни провели, она пересечет кривую только в одной точке. Это значит, что для каждого значения аргумента x существует только одно значение функции y. Следовательно, данная фигура является графиком функции.

Ответ: да, является.

б) на рис. 14;

Рассмотрим график на рисунке 14. Эта кривая представляет собой параболу, симметричную относительно оси x. Если мы проведем вертикальную прямую для любого значения $x > 0$, например, при $x=1$, эта прямая пересечет график в двух точках: одной с положительной координатой y и другой с отрицательной. Поскольку одному значению x соответствуют два различных значения y, это нарушает определение функции.

Ответ: нет, не является.

в) на рис. 15;

Проанализируем график на рисунке 15. Применив тест вертикальной линией, мы увидим, что любая вертикальная прямая пересекает данный график не более чем в одной точке. Для каждого значения x из области определения существует ровно одно значение y. Таким образом, изображенная фигура является графиком функции (в данном случае, кусочно-заданной).

Ответ: да, является.

г) на рис. 16?

Фигура на рисунке 16 — это окружность с центром в начале координат. Проведем любую вертикальную прямую, пересекающую окружность, например, при $x=1$. Эта прямая пересечет окружность в двух точках (симметричных относительно оси x). Это означает, что одному значению x соответствует два разных значения y. Следовательно, окружность не может быть графиком функции.

Ответ: нет, не является.

9.2 а) На рис. 17;

б) на рис. 18;

в) на рис. 19;

г) на рис. 20?

Является ли графиком какой-либо функции линия, изображённая на заданном рисунке? Если да, то задайте эту функцию аналитически (придумайте возможный вариант), учитывая, что на рис. 21—36 изображены прямые, параболы (или ветви парабол) и гиперболы.

Рис. 17

$y = -x^2 + 1$

Рис. 18

Рис. 19

Рис. 20

$y = 2|x - 1|$

а) На рис. 17;
Да, линия, изображенная на рисунке, является графиком функции. Согласно определению, для каждого значения аргумента $x$ существует только одно значение функции $y$. Это можно проверить с помощью "теста вертикальной прямой": любая вертикальная линия пересекает график не более чем в одной точке.
График представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз. Общий вид уравнения такой параболы: $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты вершины.
Судя по графику, вершина параболы находится в точке $(1, 2)$. Тогда уравнение принимает вид: $y = a(x - 1)^2 + 2$.
Для нахождения коэффициента $a$ возьмем еще одну точку, через которую проходит график, например, точку $(3, 1.5)$. Подставим ее координаты в уравнение:
$1.5 = a(3 - 1)^2 + 2$
$1.5 = a \cdot 2^2 + 2$
$1.5 = 4a + 2$
$4a = -0.5$
$a = -\frac{1}{8}$
Таким образом, один из возможных вариантов аналитического задания этой функции: $y = -\frac{1}{8}(x-1)^2 + 2$.
Ответ: Да, является. Возможная формула: $y = -\frac{1}{8}(x-1)^2 + 2$.

б) на рис. 18;
Нет, линия, изображенная на рисунке (окружность), не является графиком функции. Согласно определению функции, каждому значению аргумента $x$ из области определения должно соответствовать единственное значение функции $y$. В данном случае "тест вертикальной прямой" не выполняется. Например, вертикальная прямая $x = -2$ пересекает окружность в двух точках: $( -2, 2)$ и $(-2, -2)$. Это означает, что одному значению $x$ соответствует два значения $y$, что противоречит определению функции.
Ответ: Нет, не является.

в) на рис. 19;
Нет, линия, изображенная на рисунке, не является графиком функции. "Тест вертикальной прямой" показывает, что для любого значения $x$ из промежутков $(-\infty, -2)$ и $(2, +\infty)$ вертикальная прямая пересекает график в двух точках. Например, при $x=3$ на графике есть две точки со значениями $y=1$ и $y=-1$. Это нарушает определение функции.
Ответ: Нет, не является.

г) на рис. 20;
Нет, линия, изображенная на рисунке, не является графиком функции. Для любого значения $x < 2$ существуют два соответствующих значения $y$. Например, при $x=0$ график имеет две точки со значениями $y=2$ и $y=-2$. Вертикальная прямая, проведенная через любую точку с абсциссой $x<2$, пересечет график в двух точках, что противоречит определению функции.
Ответ: Нет, не является.

9.3 а) Рис. 21;

Рис. 21

б) рис. 22;

Рис. 22

в) рис. 23;

Рис. 23

г) рис. 24.

Рис. 24

а) Рис. 21

На рисунке 21 изображен график линейной функции вида $y = kx + b$.

1. Найдем коэффициент $b$. Это ордината точки пересечения графика с осью $y$. Из графика видно, что прямая пересекает ось $y$ в точке $(0; 2)$, следовательно, $b = 2$.

2. Найдем угловой коэффициент $k$. Он равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси $x$. Для его вычисления возьмем две точки, через которые проходит прямая, например, $(0; 2)$ и $(-2; 0)$.

Формула для коэффициента $k$: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 0}{0 - (-2)} = \frac{2}{2} = 1$.

3. Подставим найденные значения $k=1$ и $b=2$ в уравнение прямой: $y = 1 \cdot x + 2$, или $y = x + 2$.

Ответ: $y = x + 2$.

б) Рис. 22

На рисунке 22 изображен график функции, содержащей модуль. Общий вид такой функции $y = a|x - h| + k$, где $(h; k)$ — координаты вершины.

1. Из графика определяем координаты вершины. Вершина находится в точке $(0; -2)$. Таким образом, $h = 0$ и $k = -2$.

Уравнение принимает вид: $y = a|x - 0| - 2$, или $y = a|x| - 2$.

2. Для нахождения коэффициента $a$ выберем на графике любую другую точку, не совпадающую с вершиной. Например, точку $(1; 0)$.

Подставим координаты этой точки в уравнение: $0 = a|1| - 2$
$0 = a - 2$
$a = 2$.

3. Подставив $a=2$, получаем итоговое уравнение: $y = 2|x| - 2$.

Проверим для точки на левой ветви, например, $(-1; 0)$: $y = 2|-1| - 2 = 2 \cdot 1 - 2 = 0$. Равенство верно.

Ответ: $y = 2|x| - 2$.

в) Рис. 23

На рисунке 23 изображена фигура (квадрат), которая задается уравнением с двумя модулями. Общий вид уравнения для квадрата с центром в начале координат и вершинами на осях: $|x| + |y| = a$, где $a > 0$.

Вершины данного квадрата находятся в точках $(2; 0)$, $(0; 2)$, $(-2; 0)$ и $(0; -2)$.

Значение $a$ в уравнении $|x| + |y| = a$ равно модулю координат точек пересечения с осями. В данном случае это значение равно 2. Следовательно, $a=2$.

Таким образом, уравнение, описывающее данную фигуру, имеет вид: $|x| + |y| = 2$.

Эту фигуру также можно описать как объединение графиков двух функций: Верхняя часть: $y = -|x| + 2$, при $-2 \le x \le 2$. Нижняя часть: $y = |x| - 2$, при $-2 \le x \le 2$. Объединение этих условий приводит к уравнению $|y| = -|x| + 2$, что эквивалентно $|x| + |y| = 2$.

Ответ: $|x| + |y| = 2$.

г) Рис. 24

На рисунке 24 изображен график кусочно-заданной функции, состоящей из трех частей.

1. При $x \le -2$ график представляет собой горизонтальный луч, проходящий через ординату $y = -2$. Уравнение этой части: $y = -2$.

2. При $-2 \le x \le 2$ график представляет собой отрезок прямой, проходящий через точки $(-2; -2)$ и $(2; 2)$. Найдем уравнение этой прямой $y = kx + b$. Угловой коэффициент: $k = \frac{2 - (-2)}{2 - (-2)} = \frac{4}{4} = 1$. Так как прямая проходит через начало координат $(0; 0)$, то $b=0$. Уравнение этой части: $y = x$.

3. При $x \ge 2$ график представляет собой горизонтальный луч, проходящий через ординату $y = 2$. Уравнение этой части: $y = 2$.

Объединяя все три части, получаем кусочно-заданную функцию: $y = \begin{cases} -2, & \text{если } x < -2 \\ x, & \text{если } -2 \le x \le 2 \\ 2, & \text{если } x > 2 \end{cases}$
(Границы интервалов $x=-2$ и $x=2$ можно включать в соседние промежутки, так как функция непрерывна в этих точках).

Ответ: $y = \begin{cases} -2, & \text{если } x < -2 \\ x, & \text{если } -2 \le x \le 2 \\ 2, & \text{если } x > 2 \end{cases}$.