Номер 8.36, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8.36 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} x + 1, & \text{если } -3 \le x \le 0; \\ x^2 - 4x + 1, & \text{если } 0 < x \le 2; \\ \frac{2}{x}, & \text{если } x > 2. \end{cases}$

а) Укажите $D(f)$;

б) вычислите: $f(-5)$, $f(-2)$, $f(0)$, $f(2)$, $f(4)$;

в) постройте график функции;

г) найдите $E(f)$.

а) Укажите D(f);

Область определения функции $D(f)$ — это объединение всех интервалов, на которых задана функция.
Функция задана на трех интервалах:
1. $[-3, 0]$
2. $(0, 2]$
3. $(2, +\infty)$
Объединим эти интервалы, чтобы найти полную область определения:
$D(f) = [-3, 0] \cup (0, 2] \cup (2, +\infty)$.
Объединение первых двух интервалов $[-3, 0] \cup (0, 2]$ дает нам интервал $[-3, 2]$.
Теперь объединим результат с третьим интервалом: $[-3, 2] \cup (2, +\infty)$.
Это объединение включает все числа от -3 (включительно) и больше.
Таким образом, область определения функции: $D(f) = [-3, +\infty)$.
Ответ: $D(f) = [-3, +\infty)$.

б) вычислите: f(-5), f(-2), f(0), f(2), f(4);

Для вычисления значений функции нужно определить, в какой интервал области определения попадает аргумент $x$ и использовать соответствующую формулу.
• $f(-5)$: Число -5 не принадлежит области определения $D(f) = [-3, +\infty)$, поэтому значение функции в этой точке не определено.
• $f(-2)$: Так как $-3 \le -2 \le 0$, используем первую формулу $f(x) = x + 1$.
$f(-2) = -2 + 1 = -1$.
• $f(0)$: Так как $-3 \le 0 \le 0$, используем первую формулу $f(x) = x + 1$.
$f(0) = 0 + 1 = 1$.
• $f(2)$: Так как $0 < 2 \le 2$, используем вторую формулу $f(x) = x^2 - 4x + 1$.
$f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$.
• $f(4)$: Так как $4 > 2$, используем третью формулу $f(x) = \frac{2}{x}$.
$f(4) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $f(-5)$ не определено, $f(-2) = -1$, $f(0) = 1$, $f(2) = -3$, $f(4) = 0.5$.

в) постройте график функции;

График функции состоит из трех частей, соответствующих трем интервалам определения.

1. На отрезке $[-3, 0]$ функция имеет вид $y = x + 1$. Это график прямой линии. Найдем значения на концах отрезка:
• При $x = -3$, $y = -3 + 1 = -2$. Получаем точку $(-3, -2)$.
• При $x = 0$, $y = 0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0, 1)$.
Строим отрезок, соединяющий точки $(-3, -2)$ и $(0, 1)$. Обе точки закрашены, так как концы отрезка включены.

2. На полуинтервале $(0, 2]$ функция имеет вид $y = x^2 - 4x + 1$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх.
• Найдем вершину параболы: $x_в = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. Значение функции в вершине: $y_в = 2^2 - 4 \cdot 2 + 1 = -3$. Координаты вершины $(2, -3)$. Эта точка принадлежит графику, так как $x = 2$ входит в интервал, и она закрашена.
• Найдем предел функции при $x \to 0^+$: $\lim_{x\to 0^+} (x^2 - 4x + 1) = 1$. График подходит к точке $(0, 1)$. Так как в первой части графика точка $(0, 1)$ уже есть (и она закрашена), то разрыва в этой точке нет, и график является непрерывным.
Строим дугу параболы от точки $(0, 1)$ до вершины $(2, -3)$.

3. На интервале $(2, +\infty)$ функция имеет вид $y = \frac{2}{x}$. Это часть гиперболы.
• Найдем предел функции при $x \to 2^+$: $\lim_{x\to 2^+} \frac{2}{x} = \frac{2}{2} = 1$. График начинается от точки $(2, 1)$, которая не принадлежит графику (выколотая точка), так как $x > 2$.
• При $x \to +\infty$, $y = \frac{2}{x} \to 0$. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой для этой части графика.
• Возьмем контрольную точку, например, $x=4$, $y = \frac{2}{4} = 0.5$. Точка $(4, 0.5)$ лежит на графике.
Строим ветвь гиперболы, которая начинается в выколотой точке $(2, 1)$ и стремится к оси $Ox$ при увеличении $x$.

В точке $x=2$ функция имеет разрыв скачка: $f(2)=-3$, а предел справа $\lim_{x\to 2^+} f(x) = 1$.
Ответ: График состоит из отрезка прямой от $(-3, -2)$ до $(0, 1)$, дуги параболы от $(0, 1)$ до $(2, -3)$ (включая концы), и ветви гиперболы, начинающейся в выколотой точке $(2, 1)$ и асимптотически приближающейся к оси абсцисс.

г) найдите E(f).

Область значений функции $E(f)$ — это множество всех значений, которые принимает функция $y = f(x)$ на своей области определения. Найдем область значений для каждой части функции.

1. На отрезке $[-3, 0]$ функция $y = x+1$ является линейной и возрастающей. Её значения изменяются от $f(-3)$ до $f(0)$.
$f(-3) = -2$, $f(0) = 1$.
Область значений на этом участке: $[-2, 1]$.

2. На полуинтервале $(0, 2]$ функция $y = x^2 - 4x + 1$ (парабола с вершиной в $x=2$) убывает от $\lim_{x\to 0^+} f(x)$ до $f(2)$.
$\lim_{x\to 0^+} (x^2 - 4x + 1) = 1$.
$f(2) = -3$.
Область значений на этом участке: $[-3, 1)$.

3. На интервале $(2, +\infty)$ функция $y = \frac{2}{x}$ является убывающей.
При $x \to 2^+$, значение $y \to 1$. При $x \to +\infty$, значение $y \to 0$.
Область значений на этом участке: $(0, 1)$.

Общая область значений $E(f)$ является объединением областей значений всех трех частей:
$E(f) = [-2, 1] \cup [-3, 1) \cup (0, 1)$.
Объединяя эти множества, мы видим, что наименьшее значение равно -3 (достигается при $x=2$), а наибольшее значение равно 1 (достигается при $x=0$). Все значения между -3 и 1 также принимаются функцией.
Итоговое объединение: $E(f) = [-3, 1]$.
Ответ: $E(f) = [-3, 1]$.