Номер 8.30, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8.30 a) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 36}}{\sqrt{x^2 - x - 2}}$;

б) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 6x + 5}}{\sqrt{25 - x^2}}$;

В) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{\sqrt{6 - x - x^2}}$;

Г) $y = \frac{\sqrt{x^2 + 7x - 8}}{\sqrt{9 - x^2}}$.

Для нахождения области определения каждой функции необходимо решить систему неравенств. Во-первых, подкоренное выражение в числителе должно быть неотрицательным. Во-вторых, подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным, так как оно находится под корнем и в знаменателе дроби.

а) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 36}}{\sqrt{x^2 - x - 2}}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 36 \ge 0 \\ x^2 - x - 2 > 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 36 \ge 0$.

Разложим на множители: $(x - 6)(x + 6) \ge 0$.

Корни соответствующего уравнения $x_1 = -6, x_2 = 6$. Так как это парабола с ветвями вверх, решение неравенства находится вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - x - 2 > 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.

Неравенство можно записать в виде $(x - 2)(x + 1) > 0$.

Это парабола с ветвями вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$.

3. Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:

$(-\infty, -6] \cup [6, \infty)$ и $(-\infty, -1) \cup (2, \infty)$.

Пересекая эти множества, получаем: $x \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty)$.

б) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 6x + 5}}{\sqrt{25 - x^2}}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 6x + 5 \ge 0 \\ 25 - x^2 > 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 6x + 5 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1, x_2 = 5$.

Неравенство можно записать в виде $(x - 1)(x - 5) \ge 0$.

Решением является $x \in (-\infty, 1] \cup [5, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $25 - x^2 > 0$.

Это эквивалентно $x^2 < 25$, откуда $-5 < x < 5$.

Решением является интервал $x \in (-5, 5)$.

3. Найдем пересечение решений: $((-\infty, 1] \cup [5, \infty)) \cap (-5, 5)$.

Пересечение $(-5, 5)$ с $(-\infty, 1]$ дает интервал $(-5, 1]$.

Пересечение $(-5, 5)$ с $[5, \infty)$ дает пустое множество.

Таким образом, область определения функции: $x \in (-5, 1]$.

Ответ: $x \in (-5, 1]$.

в) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{\sqrt{6 - x - x^2}}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 4 \ge 0 \\ 6 - x - x^2 > 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 4 \ge 0$.

Разложим на множители: $(x - 2)(x + 2) \ge 0$.

Решением является $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $6 - x - x^2 > 0$. Умножим на -1, чтобы получить стандартный вид: $x^2 + x - 6 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 2, x_2 = -3$.

Неравенство можно записать в виде $(x - 2)(x + 3) < 0$.

Так как это парабола с ветвями вверх, решение неравенства находится между корнями: $x \in (-3, 2)$.

3. Найдем пересечение решений: $((-\infty, -2] \cup [2, \infty)) \cap (-3, 2)$.

Пересечение $(-3, 2)$ с $(-\infty, -2]$ дает полуинтервал $(-3, -2]$.

Пересечение $(-3, 2)$ с $[2, \infty)$ дает пустое множество.

Таким образом, область определения функции: $x \in (-3, -2]$.

Ответ: $x \in (-3, -2]$.

г) $y = \frac{\sqrt{x^2 + 7x - 8}}{\sqrt{9 - x^2}}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 7x - 8 \ge 0 \\ 9 - x^2 > 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 + 7x - 8 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 7x - 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1, x_2 = -8$.

Неравенство можно записать в виде $(x - 1)(x + 8) \ge 0$.

Решением является $x \in (-\infty, -8] \cup [1, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $9 - x^2 > 0$.

Это эквивалентно $x^2 < 9$, откуда $-3 < x < 3$.

Решением является интервал $x \in (-3, 3)$.

3. Найдем пересечение решений: $((-\infty, -8] \cup [1, \infty)) \cap (-3, 3)$.

Пересечение $(-3, 3)$ с $(-\infty, -8]$ дает пустое множество.

Пересечение $(-3, 3)$ с $[1, \infty)$ дает полуинтервал $[1, 3)$.

Таким образом, область определения функции: $x \in [1, 3)$.

Ответ: $x \in [1, 3)$.