Номер 8.28, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8.28 a) $y = \sqrt{x^{-1}(x + 4)};$

б) $y = \sqrt{(3x + 2)x^{-2}};$

В) $y = \sqrt{x(x + 4)^{-1}};$

Г) $y = \sqrt{-x(2x - 3)^{-2}}.$

а) Дана функция $y = \sqrt{x^{-1}(x+4)}$. Для нахождения области определения функции необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Преобразуем выражение в подкоренной части, используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$x^{-1}(x+4) = \frac{1}{x}(x+4) = \frac{x+4}{x}$

Теперь решим неравенство:

$\frac{x+4}{x} \ge 0$

Используем метод интервалов. Находим нули числителя и знаменателя:

$x+4 = 0 \Rightarrow x = -4$

$x = 0$

Точка $x=-4$ включается в решение (неравенство нестрогое), а точка $x=0$ исключается (знаменатель не может быть равен нулю). Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -4]$, $(-4, 0)$ и $(0, \infty)$. Определяем знак выражения на каждом интервале:

• При $x > 0$ (например, $x=1$), дробь $\frac{1+4}{1} > 0$.
• При $-4 < x < 0$ (например, $x=-1$), дробь $\frac{-1+4}{-1} < 0$.
• При $x \le -4$ (например, $x=-5$), дробь $\frac{-5+4}{-5} > 0$.

Выбираем интервалы, где выражение неотрицательно.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup (0, \infty)$.

б) Дана функция $y = \sqrt{(3x+2)x^{-2}}$. Преобразуем подкоренное выражение:

$(3x+2)x^{-2} = \frac{3x+2}{x^2}$

Решаем неравенство для нахождения области определения:

$\frac{3x+2}{x^2} \ge 0$

Знаменатель $x^2$ положителен при всех $x \ne 0$. При $x=0$ выражение не определено. Таким образом, знак дроби зависит только от знака числителя. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 3x+2 \ge 0 \\ x \ne 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $3x \ge -2$, то есть $x \ge -\frac{2}{3}$. Объединяя с условием $x \ne 0$, получаем искомое множество.

Ответ: $x \in [-\frac{2}{3}, 0) \cup (0, \infty)$.

в) Дана функция $y = \sqrt{x(x+4)^{-1}}$. Преобразуем подкоренное выражение:

$x(x+4)^{-1} = \frac{x}{x+4}$

Решаем неравенство для нахождения области определения:

$\frac{x}{x+4} \ge 0$

Используем метод интервалов. Нули числителя и знаменателя:

$x = 0$

$x+4 = 0 \Rightarrow x = -4$

Точка $x=0$ включается, точка $x=-4$ исключается. Точки делят числовую прямую на интервалы $(-\infty, -4)$, $(-4, 0]$ и $[0, \infty)$. Определяем знаки:

• При $x \ge 0$ (например, $x=1$), дробь $\frac{1}{1+4} > 0$.
• При $-4 < x < 0$ (например, $x=-1$), дробь $\frac{-1}{-1+4} < 0$.
• При $x < -4$ (например, $x=-5$), дробь $\frac{-5}{-5+4} > 0$.

Выбираем интервалы, где выражение неотрицательно.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup [0, \infty)$.

г) Дана функция $y = \sqrt{-x(2x-3)^{-2}}$. Преобразуем подкоренное выражение:

$-x(2x-3)^{-2} = \frac{-x}{(2x-3)^2}$

Решаем неравенство для нахождения области определения:

$\frac{-x}{(2x-3)^2} \ge 0$

Знаменатель $(2x-3)^2$ положителен при всех $x$, кроме $x$ при котором $2x-3=0$, то есть $x = \frac{3}{2}$. При $x = \frac{3}{2}$ выражение не определено. Знак дроби зависит от знака числителя. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} -x \ge 0 \\ x \ne \frac{3}{2} \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \le 0$. Условие $x \ne \frac{3}{2}$ выполняется автоматически, так как $\frac{3}{2} > 0$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0]$.