Номер 8.22, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8.22 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -\frac{2}{x}, \text{ если } x \le -1; \\ x - 1, \text{ если } -1 < x \le 3. \end{cases}$

а) Укажите $D(f)$;

б) вычислите: $f(-2), f(-1), f(0), f(3), f(7)$;

в) постройте график функции;

г) найдите $E(f)$.

а) Укажите D(f);

Область определения функции $D(f)$ – это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция определена. Данная функция определена на двух промежутках:

1. Для первого выражения $f(x) = \frac{2}{x}$, аргумент $x$ должен удовлетворять условию $x \le -1$. Это интервал $(-\infty, -1]$.

2. Для второго выражения $f(x) = x - 1$, аргумент $x$ должен удовлетворять условию $-1 < x \le 3$. Это интервал $(-1, 3]$.

Область определения всей функции $f(x)$ является объединением этих двух промежутков:

$D(f) = (-\infty, -1] \cup (-1, 3] = (-\infty, 3]$.

Ответ: $D(f) = (-\infty, 3]$.

б) вычислите: f(-2), f(-1), f(0), f(3), f(7);

Для вычисления значения функции в каждой точке необходимо определить, какому из двух промежутков области определения принадлежит аргумент $x$.

• Для $x = -2$: так как $-2 \le -1$, используем первую формулу $f(x) = \frac{2}{x}$.
$f(-2) = \frac{2}{-2} = -1$.

• Для $x = -1$: так как $-1 \le -1$, используем первую формулу $f(x) = \frac{2}{x}$.
$f(-1) = \frac{2}{-1} = -2$.

• Для $x = 0$: так как $-1 < 0 \le 3$, используем вторую формулу $f(x) = x - 1$.
$f(0) = 0 - 1 = -1$.

• Для $x = 3$: так как $-1 < 3 \le 3$, используем вторую формулу $f(x) = x - 1$.
$f(3) = 3 - 1 = 2$.

• Для $x = 7$: это значение не входит в область определения функции $D(f) = (-\infty, 3]$, так как $7 > 3$. Следовательно, значение функции в этой точке не определено.

Ответ: $f(-2) = -1$; $f(-1) = -2$; $f(0) = -1$; $f(3) = 2$; $f(7)$ не существует.

в) постройте график функции;

График функции состоит из двух частей.

1. На промежутке $(-\infty, -1]$ строим график функции $y = \frac{2}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в третьей координатной четверти. Она проходит через точку $(-1, -2)$ (которая является крайней точкой этого участка) и точку $(-2, -1)$. При $x \to -\infty$, $y \to 0$, то есть ось Ox является горизонтальной асимптотой.

2. На промежутке $(-1, 3]$ строим график функции $y = x - 1$. Это отрезок прямой линии. Найдем координаты его концов:
• Левый конец: при $x \to -1$ (справа), $y \to -1 - 1 = -2$. Точка $(-1, -2)$.
• Правый конец: при $x = 3$, $y = 3 - 1 = 2$. Точка $(3, 2)$.
Поскольку в точке $x = -1$ значение функции равно $f(-1) = -2$, и предел справа также равен -2, то в точке $(-1, -2)$ разрыва нет, и график является непрерывным. Крайняя точка $(3, 2)$ включена в график.

График функции выглядит следующим образом:

Ответ: График функции представлен выше.

г) найдите E(f).

Область значений функции $E(f)$ – это множество всех значений, которые принимает функция $y = f(x)$. Найдем область значений для каждой части функции.

1. На промежутке $x \in (-\infty, -1]$ функция $f(x) = \frac{2}{x}$ является возрастающей. При $x=-1$, $f(-1)=-2$. При $x \to -\infty$, $f(x) \to 0$. Следовательно, на этом участке функция принимает значения из промежутка $[-2, 0)$.

2. На промежутке $x \in (-1, 3]$ функция $f(x) = x - 1$ является возрастающей. При $x \to -1$, $f(x) \to -2$. При $x=3$, $f(3)=2$. Следовательно, на этом участке функция принимает значения из промежутка $(-2, 2]$.

Область значений всей функции является объединением областей значений ее частей:

$E(f) = [-2, 0) \cup (-2, 2]$.

Объединив эти два промежутка, получаем, что функция принимает все значения от -2 (включительно) до 2 (включительно). Таким образом, $E(f) = [-2, 2]$. Это также видно из графика: самая низкая точка графика имеет координату $y=-2$, а самая высокая – $y=2$.

Ответ: $E(f) = [-2, 2]$.