Номер 8.26, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8.26 a) $y = \frac{\sqrt{3x - 2}}{x^2 - x + 2};$

б) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 3x - 4}}{16 - x^2};$

В) $y = \frac{\sqrt{x + 2}}{3 - 2x + x^2};$

Г) $y = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{1 - 4x^2}.$

а)

Область определения функции $y = \frac{\sqrt{3x - 2}}{x^2 - x + 2}$ задается системой из двух условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $3x - 2 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x^2 - x + 2 \ne 0$.

Решим первое неравенство:

$3x - 2 \ge 0 \Rightarrow 3x \ge 2 \Rightarrow x \ge \frac{2}{3}$.

Рассмотрим второе условие. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x + 2 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), а старший коэффициент ($a = 1$) положителен, квадратный трехчлен $x^2 - x + 2$ всегда принимает положительные значения. Следовательно, знаменатель не обращается в ноль ни при каких значениях $x$.

Таким образом, область определения функции определяется только первым условием.

Ответ: $[\frac{2}{3}; +\infty)$.

б)

Область определения функции $y = \frac{\sqrt{x^2 - 3x - 4}}{16 - x^2}$ задается системой из двух условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x^2 - 3x - 4 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $16 - x^2 \ne 0$.

Решим первое неравенство $x^2 - 3x - 4 \ge 0$. Сначала найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$:

$x_1 = -1$, $x_2 = 4$ (по теореме Виета или через дискриминант).

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется на промежутках $(-\infty; -1] \cup [4; +\infty)$.

Решим второе условие:

$16 - x^2 \ne 0 \Rightarrow x^2 \ne 16 \Rightarrow x \ne \pm 4$.

Теперь объединим результаты. Из первого условия мы получили $x \in (-\infty; -1] \cup [4; +\infty)$. Из второго условия мы должны исключить точки $x = 4$ и $x = -4$.

Точка $x = 4$ исключается из промежутка $[4; +\infty)$, получаем $(4; +\infty)$.

Точка $x = -4$ находится в промежутке $(-\infty; -1]$, поэтому ее также нужно исключить.

В итоге получаем объединение промежутков.

Ответ: $(-\infty; -4) \cup (-4; -1] \cup (4; +\infty)$.

в)

Область определения функции $y = \frac{\sqrt{x + 2}}{3 - 2x + x^2}$ задается системой из двух условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x + 2 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x^2 - 2x + 3 \ne 0$.

Решим первое неравенство:

$x + 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$.

Рассмотрим второе условие. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x + 3 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), а старший коэффициент ($a = 1$) положителен, квадратный трехчлен $x^2 - 2x + 3$ всегда принимает положительные значения. Следовательно, знаменатель не обращается в ноль ни при каких значениях $x$.

Таким образом, область определения функции определяется только первым условием.

Ответ: $[-2; +\infty)$.

г)

Область определения функции $y = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{1 - 4x^2}$ задается системой из двух условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $4 - x^2 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $1 - 4x^2 \ne 0$.

Решим первое неравенство:

$4 - x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le 4 \Rightarrow -2 \le x \le 2$.

Таким образом, $x \in [-2; 2]$.

Решим второе условие:

$1 - 4x^2 \ne 0 \Rightarrow 4x^2 \ne 1 \Rightarrow x^2 \ne \frac{1}{4} \Rightarrow x \ne \pm \frac{1}{2}$.

Объединим результаты. Из промежутка $[-2; 2]$ необходимо исключить точки $x = \frac{1}{2}$ и $x = -\frac{1}{2}$. Обе эти точки принадлежат данному промежутку.

Разбиваем промежуток $[-2; 2]$ на части, исключая указанные точки.

Ответ: $[-2; -0,5) \cup (-0,5; 0,5) \cup (0,5; 2]$.