Номер 8.23, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8.23 Дана функция $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{x}, & \text{если } x < 0; \\ -3x^2 + 6x - 4, & \text{если } 0 \le x \le 2. \end{cases}$

а) Укажите $D(f)$;

б) вычислите: $f(-3)$, $f(-1)$, $f(0)$, $f(2)$, $f(5)$;

в) постройте график функции;

г) найдите $E(f)$.

а) Область определения функции $D(f)$ — это объединение множеств, на которых заданы ее части. Первая часть функции, $f(x) = -\frac{1}{x}$, определена для всех $x$, удовлетворяющих условию $x < 0$. Это интервал $(-\infty, 0)$. Вторая часть функции, $f(x) = -3x^2 + 6x - 4$, определена для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 \le x \le 2$. Это отрезок $[0, 2]$. Таким образом, область определения всей функции $f(x)$ есть объединение промежутков $(-\infty, 0)$ и $[0, 2]$. $D(f) = (-\infty, 0) \cup [0, 2] = (-\infty, 2]$.

Ответ: $D(f) = (-\infty, 2]$.

б) Для вычисления значений функции используем соответствующую формулу в зависимости от значения аргумента $x$.
- При $x = -3$, так как $-3 < 0$, используем формулу $f(x) = -\frac{1}{x}$. $f(-3) = -\frac{1}{-3} = \frac{1}{3}$.
- При $x = -1$, так как $-1 < 0$, используем ту же формулу $f(x) = -\frac{1}{x}$. $f(-1) = -\frac{1}{-1} = 1$.
- При $x = 0$, так как $0 \le 0 \le 2$, используем формулу $f(x) = -3x^2 + 6x - 4$. $f(0) = -3(0)^2 + 6(0) - 4 = 0 + 0 - 4 = -4$.
- При $x = 2$, так как $0 \le 2 \le 2$, используем ту же формулу $f(x) = -3x^2 + 6x - 4$. $f(2) = -3(2)^2 + 6(2) - 4 = -3 \cdot 4 + 12 - 4 = -12 + 12 - 4 = -4$.
- При $x = 5$, значение $x=5$ не входит в область определения функции $D(f) = (-\infty, 2]$, следовательно, значение $f(5)$ не определено.

Ответ: $f(-3) = \frac{1}{3}$; $f(-1) = 1$; $f(0) = -4$; $f(2) = -4$; $f(5)$ не определено.

в) График функции состоит из двух частей.
1. На интервале $(-\infty, 0)$ график функции совпадает с графиком $y = -\frac{1}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти. График имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось $Ox$) и вертикальную асимптоту $x=0$ (ось $Oy$). При $x \to 0^-$ значение $y \to +\infty$. Ключевые точки, вычисленные ранее: $(-1, 1)$ и $(-3, \frac{1}{3})$.
2. На отрезке $[0, 2]$ график функции совпадает с графиком $y = -3x^2 + 6x - 4$. Это часть параболы, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицателен). Найдем координаты вершины параболы: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-3)} = 1$. $y_в = f(1) = -3(1)^2 + 6(1) - 4 = -3 + 6 - 4 = -1$. Вершина параболы находится в точке $(1, -1)$. Эта точка принадлежит отрезку $[0, 2]$. Значения на концах отрезка: $f(0) = -4$ и $f(2) = -4$. Таким образом, вторая часть графика — это дуга параболы с вершиной в точке $(1, -1)$ и концами в точках $(0, -4)$ и $(2, -4)$. Так как в точках $x=0$ и $x=2$ функция определена, то точки $(0, -4)$ и $(2, -4)$ на графике являются закрашенными.

Ответ: График функции представляет собой объединение двух частей: ветви гиперболы $y = -1/x$ во второй координатной четверти (для $x < 0$) и дуги параболы $y = -3x^2 + 6x - 4$ с вершиной в точке $(1, -1)$ и концами в точках $(0, -4)$ и $(2, -4)$ (для $0 \le x \le 2$).

г) Область значений функции $E(f)$ (или множество значений) — это объединение множеств значений, которые принимают ее части на соответствующих промежутках.
1. Найдем множество значений для $f(x) = -\frac{1}{x}$ при $x \in (-\infty, 0)$. Если $x$ принимает все значения от $-\infty$ до $0$ (не включая), то $\frac{1}{x}$ принимает все значения от $0$ до $-\infty$ (не включая). Соответственно, $-\frac{1}{x}$ принимает все значения от $0$ до $+\infty$ (не включая). Таким образом, множество значений для этой части функции — это интервал $(0, +\infty)$.
2. Найдем множество значений для $f(x) = -3x^2 + 6x - 4$ при $x \in [0, 2]$. Это парабола с ветвями вниз, вершина которой ($x_в = 1$) находится внутри данного отрезка. Следовательно, наибольшее значение функции на этом отрезке равно ординате вершины: $y_{max} = f(1) = -1$. Наименьшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка. Сравним значения в концах: $f(0) = -4$ и $f(2) = -4$. Значит, наименьшее значение $y_{min} = -4$. Таким образом, множество значений для этой части функции — это отрезок $[-4, -1]$.
Объединяя полученные множества значений, находим область значений всей функции: $E(f) = [-4, -1] \cup (0, +\infty)$.

Ответ: $E(f) = [-4, -1] \cup (0, +\infty)$.