Страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Придумайте функцию с указанной областью определения:

8.18 а) $(-\infty; +\infty)$;

б) $(0; +\infty)$;

в) $(-\infty; 0)$;

г) $(-10; +\infty)$.

а) Требуется придумать функцию, область определения которой — все действительные числа, то есть интервал $(-\infty; +\infty)$. Это означает, что для любого действительного значения аргумента $x$ функция должна иметь определенное значение.

Этому условию удовлетворяют многие классы функций:

• Все многочлены, например, линейная функция $y = kx + b$, квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$ и так далее.
• Показательная функция $y = a^x$ (где $a > 0$, $a \ne 1$).
• Тригонометрические функции $y = \sin(x)$ и $y = \cos(x)$.

В качестве простого примера можно выбрать любую линейную функцию, например, $y = x$ или $y = 3x - 5$.

Ответ: $y = x$.

б) Требуется придумать функцию, область определения которой — интервал $(0; +\infty)$. Это означает, что функция определена для всех положительных чисел, но не определена для нуля и отрицательных чисел.

Такую область определения имеют функции, в которых аргумент $x$ находится под знаком логарифма или под корнем в знаменателе.

• Логарифмическая функция $y = \log_a(x)$ (где $a > 0$, $a \ne 1$) определена только для положительных значений аргумента, то есть при $x > 0$.
• Функция вида $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ также подходит. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($x \ge 0$), а знаменатель не должен равняться нулю ($x \ne 0$). Совмещение этих условий дает $x > 0$.

Выберем в качестве примера натуральный логарифм.

Ответ: $y = \ln(x)$.

в) Требуется придумать функцию, область определения которой — интервал $(-\infty; 0)$. Это означает, что функция определена для всех отрицательных чисел.

Чтобы получить такую область определения, можно взять функцию с областью определения $(0; +\infty)$ и заменить в ней аргумент $x$ на $-x$.

Рассмотрим функцию $y = \ln(-x)$. Она будет определена, когда выражение под знаком логарифма положительно:

$-x > 0$

Умножив обе части неравенства на $-1$, меняем знак неравенства на противоположный:

$x < 0$

Таким образом, область определения этой функции — $(-\infty; 0)$.

Другой пример: $y = \sqrt{-x}$. Здесь область определения $x \le 0$. Чтобы исключить точку $x=0$, можно поместить корень в знаменатель: $y = \frac{1}{\sqrt{-x}}$.

Ответ: $y = \ln(-x)$.

г) Требуется придумать функцию, область определения которой — интервал $(-10; +\infty)$. Это условие можно записать в виде неравенства $x > -10$.

Перенесем $-10$ в левую часть неравенства:

$x + 10 > 0$

Теперь мы видим, что выражение $(x+10)$ должно быть строго положительным. Мы можем использовать это выражение в качестве аргумента для функции, которая требует положительный аргумент, например, логарифма.

Возьмем функцию $y = \ln(x+10)$. Она определена, когда $x+10 > 0$, то есть $x > -10$.

Аналогично можно было бы использовать функцию с корнем в знаменателе, например $y = \frac{1}{\sqrt{x+10}}$. Условие ее существования также $x+10 > 0$.

Ответ: $y = \ln(x+10)$.

8.19 a) $(1; 3)$;

б) $[-1; 6]$;

в) $[0; 3]$;

г) $[-5; -2]$.

В данном задании требуется найти все целые числа, принадлежащие каждому из указанных числовых промежутков.

а) (1; 3)

Задан числовой промежуток $(1; 3)$. Это открытый интервал, который включает в себя все действительные числа, строго большие 1 и строго меньшие 3. Круглые скобки означают, что концы интервала, то есть числа 1 и 3, не принадлежат этому множеству.

Задача состоит в том, чтобы найти все целые числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству: $1 < x < 3$.

Единственное целое число, которое находится между 1 и 3, это 2.

Ответ: 2.

б) [-1; 6]

Задан числовой промежуток $[-1; 6]$. Это замкнутый интервал, или отрезок, который включает в себя все действительные числа, большие или равные -1 и меньшие или равные 6. Квадратные скобки означают, что концы отрезка, то есть числа -1 и 6, принадлежат этому множеству.

Задача состоит в том, чтобы найти все целые числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству: $-1 \le x \le 6$.

Перечислим все целые числа, начиная с -1 и заканчивая 6: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Ответ: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

в) [0; 3]

Задан числовой промежуток $[0; 3]$. Это замкнутый интервал, или отрезок, который включает в себя все действительные числа, большие или равные 0 и меньшие или равные 3. Квадратные скобки означают, что концы отрезка, то есть числа 0 и 3, принадлежат этому множеству.

Задача состоит в том, чтобы найти все целые числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству: $0 \le x \le 3$.

Перечислим все целые числа, начиная с 0 и заканчивая 3: 0, 1, 2, 3.

Ответ: 0, 1, 2, 3.

г) [-5; -2]

Задан числовой промежуток $[-5; -2]$. Это замкнутый интервал, или отрезок, который включает в себя все действительные числа, большие или равные -5 и меньшие или равные -2. Квадратные скобки означают, что концы отрезка, то есть числа -5 и -2, принадлежат этому множеству.

Задача состоит в том, чтобы найти все целые числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству: $-5 \le x \le -2$.

Перечислим все целые числа, начиная с -5 и заканчивая -2: -5, -4, -3, -2.

Ответ: -5, -4, -3, -2.

8.20 Приведите пример функции $y = f(x)$, у которой:

а) $D(f) = E(f)$;

б) $D(f) \subset E(f)$;

в) $E(f) \subset D(f)$;

г) $D(f) \not\subset E(f)$ и $E(f) \not\subset D(f)$.

а) $D(f) = E(f)$

Рассмотрим функцию $y = f(x) = \frac{1}{x}$.

Область определения $D(f)$: функция определена для всех действительных чисел, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. То есть, $x \neq 0$. Таким образом, $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Область значений $E(f)$: чтобы найти область значений, выразим $x$ через $y$: $y = \frac{1}{x} \implies x = \frac{1}{y}$. Эта формула имеет смысл для всех $y$, кроме $y=0$. Таким образом, $E(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Сравнивая область определения и область значений, мы видим, что они совпадают: $D(f) = E(f)$.

Ответ: $y = \frac{1}{x}$.

б) $D(f) \subset E(f)$

Рассмотрим функцию $y = f(x) = \sqrt{x} - 1$.

Область определения $D(f)$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Таким образом, $D(f) = [0, +\infty)$.

Область значений $E(f)$: так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $y = \sqrt{x} - 1 \ge 0 - 1 = -1$. Таким образом, $E(f) = [-1, +\infty)$.

Сравнивая множества $D(f) = [0, +\infty)$ и $E(f) = [-1, +\infty)$, мы видим, что любое число из $D(f)$ также принадлежит $E(f)$. Однако в $E(f)$ есть элементы, которые не принадлежат $D(f)$ (например, число -0.5). Следовательно, $D(f)$ является строгим подмножеством $E(f)$, то есть $D(f) \subset E(f)$.

Ответ: $y = \sqrt{x} - 1$.

в) $E(f) \subset D(f)$

Рассмотрим функцию $y = f(x) = \sin(x)$.

Область определения $D(f)$: функция синус определена для всех действительных чисел. Таким образом, $D(f) = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)$.

Область значений $E(f)$: функция синус принимает значения в отрезке от -1 до 1. Таким образом, $E(f) = [-1, 1]$.

Сравнивая множества $E(f) = [-1, 1]$ и $D(f) = \mathbb{R}$, мы видим, что любое число из $E(f)$ также принадлежит $D(f)$. Однако в $D(f)$ есть элементы, которые не принадлежат $E(f)$ (например, число 2). Следовательно, $E(f)$ является строгим подмножеством $D(f)$, то есть $E(f) \subset D(f)$.

Ответ: $y = \sin(x)$.

г) $D(f) \not\subseteq E(f)$ и $E(f) \not\subseteq D(f)$

Рассмотрим функцию $y = f(x) = \frac{1}{x-2} + 3$.

Область определения $D(f)$: функция определена, когда знаменатель не равен нулю, то есть $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$. Таким образом, $D(f) = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.

Область значений $E(f)$: выразим $x$ через $y$. $y - 3 = \frac{1}{x-2} \implies x-2 = \frac{1}{y-3} \implies x = 2 + \frac{1}{y-3}$. Это выражение определено для всех $y$, кроме $y=3$. Таким образом, $E(f) = (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$.

Сравним множества $D(f)$ и $E(f)$.

1. $D(f) \not\subseteq E(f)$, так как существует элемент, принадлежащий $D(f)$, но не принадлежащий $E(f)$. Например, число $3 \in D(f)$, но $3 \notin E(f)$.

2. $E(f) \not\subseteq D(f)$, так как существует элемент, принадлежащий $E(f)$, но не принадлежащий $D(f)$. Например, число $2 \in E(f)$, но $2 \notin D(f)$.

Оба условия выполняются.

Ответ: $y = \frac{1}{x-2} + 3$.

8.21 Начертите график какой-либо функции $y = f(x)$, для которой:

а) $D(f) = [-2; 4]$, $E(f) = [-3; 3];$

б) $D(f) = (-5; 3)$, $E(f) = [2; 6);$

в) $D(f) = (0; 7)$, $E(f) = [-1; 6];$

г) $D(f) = [-4; 0]$, $E(f) = [1; 4).$

Для решения этой задачи нужно понимать, что такое область определения и область значений функции.

Область определения функции $D(f)$ — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция $y = f(x)$ определена. На графике это проекция графика на ось абсцисс (ось $Ox$).

Область значений функции $E(f)$ — это множество всех значений, которые принимает функция $y$. На графике это проекция графика на ось ординат (ось $Oy$).

Квадратные скобки [ ] означают, что граничное значение включается в множество (на графике это сплошная точка). Круглые скобки ( ) означают, что граничное значение не включается (на графике это выколотая или пустая точка).

Для каждого пункта можно построить бесконечно много различных графиков. Ниже приведены примеры одних из самых простых.

Даны условия: область определения $D(f) = [-2; 4]$ и область значений $E(f) = [-3; 3]$.

Это означает, что график должен располагаться в прямоугольнике, ограниченном по горизонтали прямыми $x = -2$ и $x = 4$, а по вертикали — прямыми $y = -3$ и $y = 3$. Так как все скобки квадратные, концы отрезков включены. График должен касаться как нижней, так и верхней границы этого прямоугольника.

Можно построить график в виде ломаной линии, соединяющей три точки:

• Начальная точка на левой границе области определения, например, $(-2, 0)$.
• Точка минимума, где достигается наименьшее значение функции, например, $(1, -3)$.
• Точка максимума на правой границе области определения, где достигается наибольшее значение, например, $(4, 3)$.

Соединив эти точки отрезками, мы получим ломаную. Проверим условия:

• Проекция на ось $Ox$ — это отрезок от -2 до 4, то есть $[-2; 4]$. Условие $D(f)$ выполнено.
• Проекция на ось $Oy$ — это отрезок от минимального значения -3 до максимального 3, то есть $[-3; 3]$. Условие $E(f)$ выполнено.

Все точки на концах ($x=-2$ и $x=4$) сплошные, так как область определения — отрезок.

Ответ: Один из возможных графиков — это ломаная линия, проходящая через точки $(-2, 0)$, $(1, -3)$ и $(4, 3)$.

Даны условия: $D(f) = (-5; 3)$ и $E(f) = [2; 6)$.

Область определения — интервал, значит, на концах при $x = -5$ и $x = 3$ должны быть выколотые (пустые) точки. Область значений — полуинтервал. Это значит, что минимальное значение $y=2$ должно достигаться в какой-то точке внутри области определения, а максимальное значение $y=6$ не должно достигаться, но функция должна к нему стремиться.

Построим ломаную линию:

• Пусть функция стремится к значению 4, когда $x$ стремится к -5. Таким образом, у нас есть выколотая точка $(-5, 4)$.
• Пусть минимальное значение $y=2$ достигается при $x=0$. Это будет точка минимума $(0, 2)$.
• Пусть функция стремится к значению 6, когда $x$ стремится к 3. Таким образом, у нас есть выколотая точка $(3, 6)$.

Соединим точку $(-5, 4)$ с точкой $(0, 2)$ и точку $(0, 2)$ с точкой $(3, 6)$ отрезками. На концах ломаной будут выколотые точки.

• Проекция на ось $Ox$ — это интервал от -5 до 3, то есть $(-5; 3)$. Условие $D(f)$ выполнено.
• Минимальное значение $y=2$ достигается. Максимальное значение, к которому стремится функция, равно 6, но оно не достигается. Значит, проекция на ось $Oy$ — это полуинтервал $[2; 6)$. Условие $E(f)$ выполнено.

Ответ: Один из возможных графиков — ломаная линия с выколотыми концами в точках $(-5, 4)$ и $(3, 6)$, проходящая через точку минимума $(0, 2)$.

Даны условия: $D(f) = (0; 7)$ и $E(f) = [-1; 6]$.

Область определения — интервал $(0; 7)$, значит, на концах при $x = 0$ и $x = 7$ будут выколотые точки. Область значений — отрезок $[-1; 6]$, значит, минимальное значение $y=-1$ и максимальное значение $y=6$ должны достигаться при каких-то значениях $x$ из интервала $(0; 7)$.

Можно построить гладкую кривую, похожую на синусоиду или полином:

• Начнем с выколотой точки на левой границе, например, $(0, 2)$.
• Пусть максимальное значение $y=6$ достигается при $x=3$. Точка максимума — $(3, 6)$.
• Пусть минимальное значение $y=-1$ достигается при $x=5$. Точка минимума — $(5, -1)$.
• Закончим выколотой точкой на правой границе, например, $(7, 4)$.

Соединим эти точки плавной кривой линией. Кривая начнется в выколотой точке $(0, 2)$, поднимется до максимума в $(3, 6)$, опустится до минимума в $(5, -1)$ и закончится в выколотой точке $(7, 4)$.

• Проекция на ось $Ox$ — интервал $(0; 7)$. Условие $D(f)$ выполнено.
• Так как кривая непрерывна между точками минимума и максимума, она принимает все значения между -1 и 6. Минимальное значение -1 и максимальное 6 достигаются. Проекция на ось $Oy$ — отрезок $[-1; 6]$. Условие $E(f)$ выполнено.

Ответ: Один из возможных графиков — плавная кривая с выколотыми концами в точках $(0, 2)$ и $(7, 4)$, имеющая максимум в точке $(3, 6)$ и минимум в точке $(5, -1)$.

Даны условия: $D(f) = [-4; 0]$ и $E(f) = [1; 4)$.

Область определения — отрезок, значит, на концах при $x = -4$ и $x = 0$ должны быть сплошные точки (или, по крайней мере, функция должна быть в них определена). Область значений — полуинтервал. Минимальное значение $y=1$ достигается, а значение $y=4$ — нет, функция лишь стремится к нему.

Такая ситуация невозможна для непрерывной функции (по теореме Вейерштрасса, непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих максимума и минимума, и ее область значений тоже будет отрезком). Следовательно, функция должна иметь разрыв.

Можно построить следующий график:

• Пусть минимальное значение $y=1$ достигается на левом конце, в точке $(-4, 1)$.
• От этой точки проведем отрезок прямой линии вверх, так чтобы при $x \to 0$ значение $y \to 4$. Конечной точкой этого отрезка будет выколотая точка $(0, 4)$.
• Поскольку область определения включает $x=0$, мы должны определить значение $f(0)$. Оно должно лежать в области значений $[1; 4)$. Выберем любое значение, например, $f(0) = 2$. Это будет отдельная сплошная точка $(0, 2)$.

График состоит из отрезка прямой от точки $(-4, 1)$ до точки $(0, 4)$ (не включая ее) и отдельной точки $(0, 2)$.

• Проекция на ось $Ox$: отрезок от -4 до 0 (включая 0, так как точка $(0, 2)$ принадлежит графику). Условие $D(f) = [-4; 0]$ выполнено.
• Проекция на ось $Oy$: значения на отрезке прямой изменяются от 1 (включительно) до 4 (не включительно). Точка $(0, 2)$ дает значение $y=2$, которое уже входит в полуинтервал $[1; 4)$. Таким образом, область значений — $[1; 4)$. Условие $E(f)$ выполнено.

Ответ: Один из возможных графиков — это отрезок прямой, соединяющий точки $(-4, 1)$ и $(0, 4)$, с выколотой точкой на правом конце, и отдельно стоящая точка $(0, 2)$.

8.22 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -\frac{2}{x}, \text{ если } x \le -1; \\ x - 1, \text{ если } -1 < x \le 3. \end{cases}$

а) Укажите $D(f)$;

б) вычислите: $f(-2), f(-1), f(0), f(3), f(7)$;

в) постройте график функции;

г) найдите $E(f)$.

а) Укажите D(f);

Область определения функции $D(f)$ – это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция определена. Данная функция определена на двух промежутках:

1. Для первого выражения $f(x) = \frac{2}{x}$, аргумент $x$ должен удовлетворять условию $x \le -1$. Это интервал $(-\infty, -1]$.

2. Для второго выражения $f(x) = x - 1$, аргумент $x$ должен удовлетворять условию $-1 < x \le 3$. Это интервал $(-1, 3]$.

Область определения всей функции $f(x)$ является объединением этих двух промежутков:

$D(f) = (-\infty, -1] \cup (-1, 3] = (-\infty, 3]$.

Ответ: $D(f) = (-\infty, 3]$.

б) вычислите: f(-2), f(-1), f(0), f(3), f(7);

Для вычисления значения функции в каждой точке необходимо определить, какому из двух промежутков области определения принадлежит аргумент $x$.

• Для $x = -2$: так как $-2 \le -1$, используем первую формулу $f(x) = \frac{2}{x}$.
$f(-2) = \frac{2}{-2} = -1$.

• Для $x = -1$: так как $-1 \le -1$, используем первую формулу $f(x) = \frac{2}{x}$.
$f(-1) = \frac{2}{-1} = -2$.

• Для $x = 0$: так как $-1 < 0 \le 3$, используем вторую формулу $f(x) = x - 1$.
$f(0) = 0 - 1 = -1$.

• Для $x = 3$: так как $-1 < 3 \le 3$, используем вторую формулу $f(x) = x - 1$.
$f(3) = 3 - 1 = 2$.

• Для $x = 7$: это значение не входит в область определения функции $D(f) = (-\infty, 3]$, так как $7 > 3$. Следовательно, значение функции в этой точке не определено.

Ответ: $f(-2) = -1$; $f(-1) = -2$; $f(0) = -1$; $f(3) = 2$; $f(7)$ не существует.

в) постройте график функции;

График функции состоит из двух частей.

1. На промежутке $(-\infty, -1]$ строим график функции $y = \frac{2}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в третьей координатной четверти. Она проходит через точку $(-1, -2)$ (которая является крайней точкой этого участка) и точку $(-2, -1)$. При $x \to -\infty$, $y \to 0$, то есть ось Ox является горизонтальной асимптотой.

2. На промежутке $(-1, 3]$ строим график функции $y = x - 1$. Это отрезок прямой линии. Найдем координаты его концов:
• Левый конец: при $x \to -1$ (справа), $y \to -1 - 1 = -2$. Точка $(-1, -2)$.
• Правый конец: при $x = 3$, $y = 3 - 1 = 2$. Точка $(3, 2)$.
Поскольку в точке $x = -1$ значение функции равно $f(-1) = -2$, и предел справа также равен -2, то в точке $(-1, -2)$ разрыва нет, и график является непрерывным. Крайняя точка $(3, 2)$ включена в график.

График функции выглядит следующим образом:

Ответ: График функции представлен выше.

г) найдите E(f).

Область значений функции $E(f)$ – это множество всех значений, которые принимает функция $y = f(x)$. Найдем область значений для каждой части функции.

1. На промежутке $x \in (-\infty, -1]$ функция $f(x) = \frac{2}{x}$ является возрастающей. При $x=-1$, $f(-1)=-2$. При $x \to -\infty$, $f(x) \to 0$. Следовательно, на этом участке функция принимает значения из промежутка $[-2, 0)$.

2. На промежутке $x \in (-1, 3]$ функция $f(x) = x - 1$ является возрастающей. При $x \to -1$, $f(x) \to -2$. При $x=3$, $f(3)=2$. Следовательно, на этом участке функция принимает значения из промежутка $(-2, 2]$.

Область значений всей функции является объединением областей значений ее частей:

$E(f) = [-2, 0) \cup (-2, 2]$.

Объединив эти два промежутка, получаем, что функция принимает все значения от -2 (включительно) до 2 (включительно). Таким образом, $E(f) = [-2, 2]$. Это также видно из графика: самая низкая точка графика имеет координату $y=-2$, а самая высокая – $y=2$.

Ответ: $E(f) = [-2, 2]$.

8.23 Дана функция $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{x}, & \text{если } x < 0; \\ -3x^2 + 6x - 4, & \text{если } 0 \le x \le 2. \end{cases}$

а) Укажите $D(f)$;

б) вычислите: $f(-3)$, $f(-1)$, $f(0)$, $f(2)$, $f(5)$;

в) постройте график функции;

г) найдите $E(f)$.

а) Область определения функции $D(f)$ — это объединение множеств, на которых заданы ее части. Первая часть функции, $f(x) = -\frac{1}{x}$, определена для всех $x$, удовлетворяющих условию $x < 0$. Это интервал $(-\infty, 0)$. Вторая часть функции, $f(x) = -3x^2 + 6x - 4$, определена для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 \le x \le 2$. Это отрезок $[0, 2]$. Таким образом, область определения всей функции $f(x)$ есть объединение промежутков $(-\infty, 0)$ и $[0, 2]$. $D(f) = (-\infty, 0) \cup [0, 2] = (-\infty, 2]$.

Ответ: $D(f) = (-\infty, 2]$.

б) Для вычисления значений функции используем соответствующую формулу в зависимости от значения аргумента $x$.
- При $x = -3$, так как $-3 < 0$, используем формулу $f(x) = -\frac{1}{x}$. $f(-3) = -\frac{1}{-3} = \frac{1}{3}$.
- При $x = -1$, так как $-1 < 0$, используем ту же формулу $f(x) = -\frac{1}{x}$. $f(-1) = -\frac{1}{-1} = 1$.
- При $x = 0$, так как $0 \le 0 \le 2$, используем формулу $f(x) = -3x^2 + 6x - 4$. $f(0) = -3(0)^2 + 6(0) - 4 = 0 + 0 - 4 = -4$.
- При $x = 2$, так как $0 \le 2 \le 2$, используем ту же формулу $f(x) = -3x^2 + 6x - 4$. $f(2) = -3(2)^2 + 6(2) - 4 = -3 \cdot 4 + 12 - 4 = -12 + 12 - 4 = -4$.
- При $x = 5$, значение $x=5$ не входит в область определения функции $D(f) = (-\infty, 2]$, следовательно, значение $f(5)$ не определено.

Ответ: $f(-3) = \frac{1}{3}$; $f(-1) = 1$; $f(0) = -4$; $f(2) = -4$; $f(5)$ не определено.

в) График функции состоит из двух частей.
1. На интервале $(-\infty, 0)$ график функции совпадает с графиком $y = -\frac{1}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти. График имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось $Ox$) и вертикальную асимптоту $x=0$ (ось $Oy$). При $x \to 0^-$ значение $y \to +\infty$. Ключевые точки, вычисленные ранее: $(-1, 1)$ и $(-3, \frac{1}{3})$.
2. На отрезке $[0, 2]$ график функции совпадает с графиком $y = -3x^2 + 6x - 4$. Это часть параболы, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицателен). Найдем координаты вершины параболы: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-3)} = 1$. $y_в = f(1) = -3(1)^2 + 6(1) - 4 = -3 + 6 - 4 = -1$. Вершина параболы находится в точке $(1, -1)$. Эта точка принадлежит отрезку $[0, 2]$. Значения на концах отрезка: $f(0) = -4$ и $f(2) = -4$. Таким образом, вторая часть графика — это дуга параболы с вершиной в точке $(1, -1)$ и концами в точках $(0, -4)$ и $(2, -4)$. Так как в точках $x=0$ и $x=2$ функция определена, то точки $(0, -4)$ и $(2, -4)$ на графике являются закрашенными.

Ответ: График функции представляет собой объединение двух частей: ветви гиперболы $y = -1/x$ во второй координатной четверти (для $x < 0$) и дуги параболы $y = -3x^2 + 6x - 4$ с вершиной в точке $(1, -1)$ и концами в точках $(0, -4)$ и $(2, -4)$ (для $0 \le x \le 2$).

г) Область значений функции $E(f)$ (или множество значений) — это объединение множеств значений, которые принимают ее части на соответствующих промежутках.
1. Найдем множество значений для $f(x) = -\frac{1}{x}$ при $x \in (-\infty, 0)$. Если $x$ принимает все значения от $-\infty$ до $0$ (не включая), то $\frac{1}{x}$ принимает все значения от $0$ до $-\infty$ (не включая). Соответственно, $-\frac{1}{x}$ принимает все значения от $0$ до $+\infty$ (не включая). Таким образом, множество значений для этой части функции — это интервал $(0, +\infty)$.
2. Найдем множество значений для $f(x) = -3x^2 + 6x - 4$ при $x \in [0, 2]$. Это парабола с ветвями вниз, вершина которой ($x_в = 1$) находится внутри данного отрезка. Следовательно, наибольшее значение функции на этом отрезке равно ординате вершины: $y_{max} = f(1) = -1$. Наименьшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка. Сравним значения в концах: $f(0) = -4$ и $f(2) = -4$. Значит, наименьшее значение $y_{min} = -4$. Таким образом, множество значений для этой части функции — это отрезок $[-4, -1]$.
Объединяя полученные множества значений, находим область значений всей функции: $E(f) = [-4, -1] \cup (0, +\infty)$.

Ответ: $E(f) = [-4, -1] \cup (0, +\infty)$.