Страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

7. Решите систему уравнений

$ \begin{cases} (x+y)^2 - 3(x-3y) = 22, \\ 4(x+y) + x-3y = 21. \end{cases} $

Данная система уравнений:

$$ \begin{cases} (x + y)^2 - 3(x - 3y) = 22, \\ 4(x + y) + x - 3y = 21. \end{cases} $$

Для упрощения решения введем замену переменных. Заметим, что в обоих уравнениях присутствуют выражения $(x+y)$ и $(x-3y)$.

Пусть $a = x + y$ и $b = x - 3y$.

Подставив новые переменные в исходную систему, получим:

$$ \begin{cases} a^2 - 3b = 22, \\ 4a + b = 21. \end{cases} $$

Теперь решим эту систему относительно $a$ и $b$. Из второго уравнения выразим $b$ через $a$:

$b = 21 - 4a$

Подставим это выражение для $b$ в первое уравнение системы:

$a^2 - 3(21 - 4a) = 22$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$a^2 - 63 + 12a = 22$

$a^2 + 12a - 85 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно воспользоваться теоремой Виета: сумма корней $a_1 + a_2 = -12$, а их произведение $a_1 \cdot a_2 = -85$. Подбором находим корни:

$a_1 = 5$ и $a_2 = -17$.

Теперь для каждого найденного значения $a$ найдем соответствующее значение $b$, используя формулу $b = 21 - 4a$.

1. Если $a_1 = 5$, то $b_1 = 21 - 4a_1 = 21 - 4 \cdot 5 = 21 - 20 = 1$.

2. Если $a_2 = -17$, то $b_2 = 21 - 4a_2 = 21 - 4 \cdot (-17) = 21 + 68 = 89$.

Мы получили две пары значений для $(a, b)$: $(5; 1)$ и $(-17; 89)$. Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждой пары, чтобы найти $x$ и $y$.

Случай 1: $a=5$ и $b=1$.

Получаем систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 5, \\ x - 3y = 1. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого: $(x + y) - (x - 3y) = 5 - 1$, что дает $4y = 4$, откуда $y = 1$.

Подставим значение $y=1$ в первое уравнение: $x + 1 = 5$, откуда $x = 4$.

Первое решение системы: $(4; 1)$.

Случай 2: $a=-17$ и $b=89$.

Получаем систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = -17, \\ x - 3y = 89. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого: $(x + y) - (x - 3y) = -17 - 89$, что дает $4y = -106$, откуда $y = -\frac{106}{4} = -\frac{53}{2}$.

Подставим значение $y = -\frac{53}{2}$ в первое уравнение: $x + (-\frac{53}{2}) = -17$.

Отсюда $x = -17 + \frac{53}{2} = -\frac{34}{2} + \frac{53}{2} = \frac{19}{2}$.

Второе решение системы: $(\frac{19}{2}; -\frac{53}{2})$.

Ответ: $(4; 1), (\frac{19}{2}; -\frac{53}{2})$.

8 Решите графически систему уравнений

$$\begin{cases} (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25, \\ |x - 2| - y = 6. \end{cases}$$

Для решения системы уравнений графическим методом необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точки их пересечения. Координаты этих точек и будут являться решениями системы.

Данное уравнение является уравнением окружности в стандартном виде $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

Для нашего уравнения центр окружности находится в точке с координатами $C(2; -1)$, а её радиус равен $R = \sqrt{25} = 5$.

Сначала выразим $y$ из уравнения, чтобы получить явный вид функции: $y = |x - 2| - 6$.

График этой функции получается из графика простейшей функции с модулем $y = |x|$ путем двух последовательных смещений: на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс и на 6 единиц вниз вдоль оси ординат. Вершина полученного "уголка" будет находиться в точке $(2; -6)$.

Можно также раскрыть модуль, чтобы представить график в виде двух лучей, исходящих из одной точки:

• При $x - 2 \ge 0$, то есть при $x \ge 2$, уравнение принимает вид $y = (x - 2) - 6$, что равносильно $y = x - 8$.
• При $x - 2 < 0$, то есть при $x < 2$, уравнение принимает вид $y = -(x - 2) - 6$, что равносильно $y = -x - 4$.

Таким образом, график второго уравнения — это объединение двух лучей с общим началом в точке $(2; -6)$.

Построим оба графика в одной декартовой системе координат. Для точного построения найдем несколько ключевых точек для каждого графика.

• Ключевые точки окружности с центром в $C(2; -1)$ и радиусом $R=5$:
  • Верхняя точка: $(2; -1+5) = (2; 4)$
  • Нижняя точка: $(2; -1-5) = (2; -6)$
  • Правая точка: $(2+5; -1) = (7; -1)$
  • Левая точка: $(2-5; -1) = (-3; -1)$
• Ключевые точки для графика $y = |x - 2| - 6$:
  • Вершина: $(2; -6)$
  • Точка на правом луче ($y=x-8$): пусть $x=7$, тогда $y=7-8=-1$. Точка $(7; -1)$.
  • Точка на левом луче ($y=-x-4$): пусть $x=-3$, тогда $y=-(-3)-4=-1$. Точка $(-3; -1)$.

Сравнивая координаты вычисленных ключевых точек, мы видим, что три из них совпадают: $(2; -6)$, $(7; -1)$ и $(-3; -1)$. Это и есть точки пересечения графиков.

Следовательно, система уравнений имеет три решения.

Ответ: $(2; -6)$, $(7; -1)$, $(-3; -1)$.

9 Два слесаря выполняют некоторую работу. После 45 мин совместного труда первый слесарь был переведён на другую работу, и второй закончил оставшуюся часть работы за 2 ч 15 мин. За какое время мог бы выполнить всю работу каждый слесарь в отдельности, если известно, что второму на это понадобится на 1 ч больше, чем первому?

Обозначим всю работу как 1. Пусть время, за которое первый слесарь выполняет всю работу в одиночку, равно $x$ часов. Согласно условию, второму слесарю на выполнение всей работы требуется на 1 час больше, то есть $(x+1)$ часов.

Тогда производительность (скорость работы) первого слесаря составляет $\frac{1}{x}$ работы в час, а производительность второго — $\frac{1}{x+1}$ работы в час. Их совместная производительность равна $\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}\right)$ работы в час.

Сначала оба слесаря работали вместе 45 минут, что составляет $\frac{45}{60} = \frac{3}{4}$ часа. За это время они выполнили часть работы, равную: $W_1 = \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}\right) \cdot \frac{3}{4}$

Затем второй слесарь один заканчивал оставшуюся работу в течение 2 часов 15 минут, что составляет $2 + \frac{15}{60} = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$ часа. За это время он выполнил часть работы, равную: $W_2 = \frac{1}{x+1} \cdot \frac{9}{4}$

Сумма выполненных частей работы равна всей работе, то есть 1. Составим и решим уравнение: $\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}\right) \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{x+1} \cdot \frac{9}{4} = 1$

Для удобства решения умножим обе части уравнения на 4: $3 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}\right) + \frac{9}{x+1} = 4$

Раскроем скобки и сложим дроби с одинаковым знаменателем: $\frac{3}{x} + \frac{3}{x+1} + \frac{9}{x+1} = 4$
$\frac{3}{x} + \frac{12}{x+1} = 4$

Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x+1)$: $\frac{3(x+1) + 12x}{x(x+1)} = 4$

При условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -1$, умножим обе части на $x(x+1)$: $3(x+1) + 12x = 4x(x+1)$
$3x + 3 + 12x = 4x^2 + 4x$
$15x + 3 = 4x^2 + 4x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $4x^2 + 4x - 15x - 3 = 0$
$4x^2 - 11x - 3 = 0$

Решим уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. $D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169 = 13^2$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 13}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -0.25$

Корень $x_2 = -0.25$ не имеет физического смысла, так как время не может быть отрицательным. Следовательно, время, за которое первый слесарь может выполнить всю работу, равно $x = 3$ часа.

Тогда время, необходимое второму слесарю, составит: $x+1 = 3+1 = 4$ часа.

Ответ: первый слесарь мог бы выполнить всю работу за 3 часа, а второй — за 4 часа.

10 Придумайте условие задачи, математической моделью которой является система уравнений

$\begin{cases}6x + 5y = 780, \\\frac{600}{x} - \frac{600}{y} = 2\frac{1}{2}.\end{cases}$

Сначала составим условие задачи, для которой данная система уравнений будет математической моделью.

Условие задачи

Два цеха выпускают одинаковые изделия. Производительность первого цеха составляет $x$ изделий в час, а производительность второго цеха – $y$ изделий в час. Если первый цех будет работать 6 часов, а второй – 5 часов, то вместе они выпустят 780 изделий. Известно, что для выпуска 600 изделий первому цеху требуется на $2\frac{1}{2}$ часа больше времени, чем второму. Требуется найти производительность каждого цеха.

Решение

Составим систему уравнений на основе условия.

Первое уравнение описывает совместную работу: $6x + 5y = 780$.

Второе уравнение описывает разницу во времени для выполнения заказа на 600 изделий. Время, необходимое первому цеху, равно $\frac{600}{x}$ часов. Время, необходимое второму цеху, равно $\frac{600}{y}$ часов. По условию, первому цеху требуется на $2\frac{1}{2}$ часа больше, что можно записать как $\frac{600}{x} - \frac{600}{y} = 2\frac{1}{2}$.

Таким образом, мы получаем исходную систему уравнений:

$$ \begin{cases} 6x + 5y = 780 \\ \frac{600}{x} - \frac{600}{y} = 2.5 \end{cases} $$

При попытке решить эту систему в исходном виде мы приходим к квадратному уравнению, которое не имеет рациональных корней. Это маловероятно для задачи из учебника. Скорее всего, в условии допущена опечатка. Наиболее вероятная ошибка — порядок вычитания во втором уравнении. Если предположить, что второму цеху требуется на $2.5$ часа больше времени, чем первому, то второе уравнение примет вид $\frac{600}{y} - \frac{600}{x} = 2.5$. Решим эту исправленную систему.

Модифицированная система: $$ \begin{cases} 6x + 5y = 780 & (1) \\ \frac{600}{y} - \frac{600}{x} = 2.5 & (2) \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $y$: $5y = 780 - 6x \implies y = \frac{780 - 6x}{5}$.

Преобразуем второе уравнение. Умножим обе части на $2xy$, чтобы избавиться от дробей (при условии, что $x \neq 0, y \neq 0$): $1200x - 1200y = 5xy$.

Разделим обе части на 5: $240x - 240y = xy$.

Подставим выражение для $y$ в это уравнение: $240x - 240(\frac{780 - 6x}{5}) = x(\frac{780 - 6x}{5})$.

Умножим обе части на 5, чтобы избавиться от знаменателя: $1200x - 240(780 - 6x) = x(780 - 6x)$.

Раскроем скобки: $1200x - 187200 + 1440x = 780x - 6x^2$.

Приведем подобные слагаемые и запишем квадратное уравнение: $2640x - 187200 = 780x - 6x^2$.

$6x^2 + 2640x - 780x - 187200 = 0$.

$6x^2 + 1860x - 187200 = 0$.

Разделим уравнение на 6 для упрощения: $x^2 + 310x - 31200 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = 310^2 - 4(1)(-31200) = 96100 + 124800 = 220900$.

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{220900} = 470$.

Теперь найдем корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-310 \pm 470}{2}$.

$x_1 = \frac{-310 + 470}{2} = \frac{160}{2} = 80$.

$x_2 = \frac{-310 - 470}{2} = \frac{-780}{2} = -390$.

Поскольку производительность $x$ не может быть отрицательной, корень $x_2 = -390$ является посторонним. Следовательно, производительность первого цеха $x = 80$ изделий в час.

Найдем производительность второго цеха $y$, подставив значение $x$ в выражение для $y$: $y = \frac{780 - 6x}{5} = \frac{780 - 6(80)}{5} = \frac{780 - 480}{5} = \frac{300}{5} = 60$.

Итак, производительность второго цеха $y = 60$ изделий в час.

Проверим найденные значения по исходной (модифицированной) системе:

$6(80) + 5(60) = 480 + 300 = 780$. (Верно)

$\frac{600}{60} - \frac{600}{80} = 10 - 7.5 = 2.5$. (Верно)

Ответ: Производительность первого цеха — 80 изделий в час, производительность второго цеха — 60 изделий в час.