Страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

7.44 Бригада слесарей может выполнить некоторое задание по обработке деталей на 15 ч скорее, чем бригада учеников. Если бригада учеников отработает 18 ч, выполняя это задание, а потом бригада слесарей продолжит выполнение задания в течение 6 ч, то будет выполнено только 60 % всего задания. Сколько времени требуется бригаде учеников для самостоятельного выполнения задания?

Примем весь объем работы за 1.

Пусть $x$ часов — время, за которое бригада учеников может самостоятельно выполнить все задание. Тогда производительность бригады учеников (часть работы, выполняемая за 1 час) равна $P_{уч} = \frac{1}{x}$.

Согласно условию, бригада слесарей выполняет то же задание на 15 часов быстрее, значит, время выполнения задания бригадой слесарей составляет $(x - 15)$ часов. Производительность бригады слесарей равна $P_{сл} = \frac{1}{x - 15}$.

Так как время на выполнение работы должно быть положительным, должно выполняться условие $x - 15 > 0$, то есть $x > 15$.

По условию, бригада учеников работала 18 часов и выполнила часть задания, равную $18 \cdot P_{уч} = \frac{18}{x}$.

После этого бригада слесарей работала 6 часов и выполнила часть задания, равную $6 \cdot P_{сл} = \frac{6}{x - 15}$.

Вместе они выполнили 60% всего задания, что составляет 0,6 от всей работы. Составим уравнение на основе этих данных:

$\frac{18}{x} + \frac{6}{x - 15} = 0,6$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 0,6:

$\frac{18}{0,6x} + \frac{6}{0,6(x - 15)} = 1$

$\frac{30}{x} + \frac{10}{x - 15} = 1$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(x - 15)$:

$\frac{30(x - 15) + 10x}{x(x - 15)} = 1$

При условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 15$, можем умножить обе части на знаменатель:

$30(x - 15) + 10x = x(x - 15)$

$30x - 450 + 10x = x^2 - 15x$

Соберем все члены в одной части, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 15x - 30x - 10x + 450 = 0$

$x^2 - 55x + 450 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-55)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 450 = 3025 - 1800 = 1225$

$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{55 + 35}{2} = \frac{90}{2} = 45$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{55 - 35}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Теперь проверим корни на соответствие ранее установленному ограничению $x > 15$.

Корень $x_1 = 45$ удовлетворяет условию ($45 > 15$).

Корень $x_2 = 10$ не удовлетворяет условию ($10 < 15$), так как в этом случае время работы слесарей было бы отрицательным ($10 - 15 = -5$ ч), что лишено физического смысла.

Следовательно, единственное подходящее решение — $x = 45$.

Ответ: 45 часов.

7.45 Мастер, работая с учеником, обрабатывает деталь за 2 ч 24 мин. Если мастер будет работать 2 ч, а ученик — 1 ч, то будет выполнено $ \frac{2}{3} $ всей работы. Сколько времени потребуется мастеру и ученику в отдельности на обработку детали?

Примем всю работу по обработке детали за 1.

Пусть $x$ — производительность мастера (часть работы в час), а $y$ — производительность ученика (часть работы в час). Тогда время, необходимое мастеру для выполнения всей работы в одиночку, составит $T_{мастер} = \frac{1}{x}$ часов, а ученику — $T_{ученик} = \frac{1}{y}$ часов.

Составление системы уравнений

Из первого условия известно, что мастер и ученик, работая вместе, выполняют всю работу за 2 ч 24 мин. Переведем это время в часы:

$2 \text{ ч } 24 \text{ мин} = 2 + \frac{24}{60} \text{ ч} = 2 + \frac{2}{5} \text{ ч} = \frac{12}{5} \text{ ч}$.

Их совместная производительность равна $x + y$. Так как работа равна произведению производительности на время ($A = P \cdot t$), получаем первое уравнение:

$(x + y) \cdot \frac{12}{5} = 1$, откуда следует $x + y = \frac{5}{12}$.

Из второго условия известно, что за 2 часа работы мастера и 1 час работы ученика выполняется $\frac{2}{3}$ всей работы. Составляем второе уравнение:

$2x + y = \frac{2}{3}$.

Получаем систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = \frac{5}{12} \\ 2x + y = \frac{2}{3} \end{cases}$

Решение системы уравнений

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго:

$(2x + y) - (x + y) = \frac{2}{3} - \frac{5}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$x = \frac{8}{12} - \frac{5}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

Таким образом, производительность мастера составляет $x = \frac{1}{4}$ работы в час.

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти производительность ученика $y$:

$\frac{1}{4} + y = \frac{5}{12}$

$y = \frac{5}{12} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12} - \frac{3}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.

Производительность ученика составляет $y = \frac{1}{6}$ работы в час.

Нахождение времени выполнения работы по отдельности

Время, за которое мастер выполнит всю работу один, равно:

$T_{мастер} = \frac{1}{x} = \frac{1}{1/4} = 4$ часа.

Время, за которое ученик выполнит всю работу один, равно:

$T_{ученик} = \frac{1}{y} = \frac{1}{1/6} = 6$ часов.

Ответ: мастеру на обработку детали потребуется 4 часа, а ученику — 6 часов.

7.46 Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать участок шос-сейной дороги за 18 дней. В действительности же получилось так, что сначала работала первая бригада, а заканчивала ремонт участ-ка дороги вторая бригада, работающая не более чем в два раза бы-стрее первой. В результате ремонт участка дороги продолжался 40 дней, причём первая бригада в своё рабочее время выполнила $ \frac{2}{3} $ всей работы. За сколько дней был бы отремонтирован участок дороги каждой бригадой отдельно?

Примем весь объем работы по ремонту участка дороги за 1.Пусть $v_1$ и $v_2$ — производительности первой и второй бригад соответственно (часть работы в день), а $t_1$ и $t_2$ — время (в днях), за которое каждая бригада выполнит всю работу в одиночку. Тогда $t_1 = \frac{1}{v_1}$ и $t_2 = \frac{1}{v_2}$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

1. Работая вместе, бригады должны были отремонтировать участок за 18 дней. Это означает, что их совместная производительность равна $\frac{1}{18}$ работы в день.
$v_1 + v_2 = \frac{1}{18}$

2. Фактически ремонт продолжался 40 дней. Пусть первая бригада работала $d_1$ дней, а вторая — $d_2$ дней.
$d_1 + d_2 = 40$

3. За свое рабочее время $d_1$ первая бригада выполнила $\frac{2}{3}$ всей работы.
$v_1 \cdot d_1 = \frac{2}{3}$

4. Вторая бригада выполнила оставшуюся часть работы: $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$v_2 \cdot d_2 = \frac{1}{3}$

5. Вторая бригада работает не более чем в два раза быстрее первой. Это можно записать как $v_2 \le 2v_1$. При этом в условии сказано "быстрее первой", что означает $v_2 > v_1$. Объединив эти два условия, получаем неравенство: $v_1 < v_2 \le 2v_1$.

Теперь приступим к решению системы. Из уравнений (3) и (4) выразим $d_1$ и $d_2$ через производительности:$d_1 = \frac{2}{3v_1}$ и $d_2 = \frac{1}{3v_2}$.Подставим эти выражения в уравнение (2):$\frac{2}{3v_1} + \frac{1}{3v_2} = 40$Домножим обе части уравнения на 3, чтобы упростить его:$\frac{2}{v_1} + \frac{1}{v_2} = 120$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными $v_1$ и $v_2$:$v_1 + v_2 = \frac{1}{18}$$\frac{2}{v_1} + \frac{1}{v_2} = 120$Из первого уравнения выразим $v_2$: $v_2 = \frac{1}{18} - v_1$. Подставим это выражение во второе уравнение:$\frac{2}{v_1} + \frac{1}{\frac{1}{18} - v_1} = 120$Приведем левую часть к общему знаменателю:$\frac{2(\frac{1}{18} - v_1) + v_1}{v_1(\frac{1}{18} - v_1)} = 120$$\frac{\frac{2}{18} - 2v_1 + v_1}{\frac{v_1}{18} - v_1^2} = 120$$\frac{\frac{1}{9} - v_1}{\frac{v_1}{18} - v_1^2} = 120$$\frac{1}{9} - v_1 = 120 \left(\frac{v_1}{18} - v_1^2\right)$$\frac{1}{9} - v_1 = \frac{120}{18}v_1 - 120v_1^2$$\frac{1}{9} - v_1 = \frac{20}{3}v_1 - 120v_1^2$Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:$120v_1^2 - v_1 - \frac{20}{3}v_1 + \frac{1}{9} = 0$$120v_1^2 - \frac{23}{3}v_1 + \frac{1}{9} = 0$Домножим все уравнение на 9, чтобы избавиться от дробных коэффициентов:$1080v_1^2 - 69v_1 + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-69)^2 - 4 \cdot 1080 \cdot 1 = 4761 - 4320 = 441 = 21^2$.Найдем два возможных значения для $v_1$:$v_{1,1} = \frac{69 + 21}{2 \cdot 1080} = \frac{90}{2160} = \frac{9}{216} = \frac{1}{24}$$v_{1,2} = \frac{69 - 21}{2 \cdot 1080} = \frac{48}{2160} = \frac{4}{180} = \frac{1}{45}$

Теперь рассмотрим оба случая и проверим их на соответствие условию $v_1 < v_2 \le 2v_1$.

Случай 1: $v_1 = \frac{1}{24}$.Тогда $v_2 = \frac{1}{18} - v_1 = \frac{1}{18} - \frac{1}{24} = \frac{4-3}{72} = \frac{1}{72}$.В этом случае $v_2 = \frac{1}{72}$ и $v_1 = \frac{1}{24}$. Условие $v_2 > v_1$ не выполняется, так как $\frac{1}{72} < \frac{1}{24}$. Следовательно, это решение не подходит.

Случай 2: $v_1 = \frac{1}{45}$.Тогда $v_2 = \frac{1}{18} - v_1 = \frac{1}{18} - \frac{1}{45} = \frac{5-2}{90} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}$.Проверим условие $v_1 < v_2 \le 2v_1$:$\frac{1}{45} < \frac{1}{30} \le 2 \cdot \frac{1}{45}$.Сравним $\frac{1}{30}$ и $\frac{1}{45}$. Так как $30 < 45$, то $\frac{1}{30} > \frac{1}{45}$. Первое неравенство выполняется.Сравним $\frac{1}{30}$ и $2 \cdot \frac{1}{45} = \frac{2}{45}$. Приведем дроби к общему знаменателю 90: $\frac{3}{90} \le \frac{4}{90}$. Второе неравенство также выполняется.Это решение полностью удовлетворяет всем условиям задачи.

Итак, мы нашли производительности бригад: $v_1 = \frac{1}{45}$ и $v_2 = \frac{1}{30}$.Теперь определим, за сколько дней каждая бригада отремонтировала бы участок, работая в одиночку:Время для первой бригады: $t_1 = \frac{1}{v_1} = \frac{1}{1/45} = 45$ дней.Время для второй бригады: $t_2 = \frac{1}{v_2} = \frac{1}{1/30} = 30$ дней.

Ответ: первая бригада отремонтировала бы участок дороги за 45 дней, а вторая — за 30 дней.

7.47 В бассейне проведены две трубы разного сечения. Одна равномерно подаёт, а вторая равномерно отводит воду, причём через первую бассейн наполняется на 2 ч дольше, чем через вторую опорожняется. При заполненном на $\frac{1}{3}$ бассейне были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым спустя 8 ч. За сколько часов, действуя отдельно, первая труба наполняет, а вторая опорожняет бассейн?

Для решения задачи введем переменные. Пусть весь объем бассейна равен 1.

Обозначим за $x$ время (в часах), за которое первая труба полностью наполняет бассейн, а за $y$ — время (в часах), за которое вторая труба полностью его опорожняет.

Тогда производительность (скорость работы) первой трубы равна $\frac{1}{x}$ бассейна/час, а производительность второй трубы — $\frac{1}{y}$ бассейна/час.

Согласно первому условию, первая труба наполняет бассейн на 2 часа дольше, чем вторая его опорожняет. На основе этого составим первое уравнение:
$x = y + 2$

Согласно второму условию, когда бассейн был заполнен на $\frac{1}{3}$, были открыты обе трубы, и через 8 часов он опустел. Это означает, что производительность второй (опорожняющей) трубы больше, чем производительность первой (наполняющей). Совместная производительность труб при опорожнении бассейна равна разности их производительностей:
$v_{совм} = \frac{1}{y} - \frac{1}{x}$

За 8 часов совместной работы был слит объем воды, равный $\frac{1}{3}$ бассейна. Используя формулу "Объем = Производительность × Время", составим второе уравнение:
$(\frac{1}{y} - \frac{1}{x}) \cdot 8 = \frac{1}{3}$

Разделив обе части на 8, получим:
$\frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{1}{24}$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} x = y + 2 \\ \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{1}{24} \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:
$\frac{1}{y} - \frac{1}{y+2} = \frac{1}{24}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $y(y+2)$:
$\frac{(y+2) - y}{y(y+2)} = \frac{1}{24}$
$\frac{2}{y(y+2)} = \frac{1}{24}$

Используя свойство пропорции, получаем:
$y(y+2) = 2 \cdot 24$
$y^2 + 2y = 48$
$y^2 + 2y - 48 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна $-2$, а их произведение равно $-48$. Этим условиям удовлетворяют числа $6$ и $-8$.
$y_1 = 6$, $y_2 = -8$.

Поскольку время $y$ по смыслу задачи не может быть отрицательной величиной, единственным решением является $y=6$.
Следовательно, вторая труба опорожняет бассейн за 6 часов.

Теперь найдем время $x$, за которое первая труба наполняет бассейн:
$x = y + 2 = 6 + 2 = 8$
Следовательно, первая труба наполняет бассейн за 8 часов.

Ответ: первая труба наполняет бассейн за 8 часов, а вторая опорожняет его за 6 часов.

7.48 По двум сторонам прямого угла по направлению к его вершине движутся два тела. В начальный момент тело A отстояло от вершины на 60 м, а тело B — на 80 м. Через 3 с расстояние между A и B стало равным 70 м, а ещё через 2 с — 50 м. Найдите скорость движения каждого тела.

Введем декартову систему координат так, чтобы вершина прямого угла совпадала с началом координат (0,0). Пусть тело A движется вдоль оси OY, а тело B — вдоль оси OX. Поскольку тела движутся к вершине угла, их координаты будут уменьшаться.

Обозначим скорости тел как $v_A$ и $v_B$ соответственно.В начальный момент времени $t = 0$ координаты тел были:

• Тело A: $y_A(0) = 60$ м
• Тело B: $x_B(0) = 80$ м

Зависимость координат тел от времени $t$ можно описать следующими уравнениями:

$y_A(t) = 60 - v_A t$

$x_B(t) = 80 - v_B t$

Расстояние $d(t)$ между телами в любой момент времени $t$ находится по теореме Пифагора:

$d(t)^2 = x_B(t)^2 + y_A(t)^2 = (80 - v_B t)^2 + (60 - v_A t)^2$

Раскроем скобки в этом выражении:

$d(t)^2 = 80^2 - 2 \cdot 80 \cdot v_B t + (v_B t)^2 + 60^2 - 2 \cdot 60 \cdot v_A t + (v_A t)^2$

$d(t)^2 = 6400 - 160v_B t + v_B^2 t^2 + 3600 - 120v_A t + v_A^2 t^2$

Сгруппируем члены по степеням $t$:

$d(t)^2 = (6400 + 3600) - (120v_A + 160v_B)t + (v_A^2 + v_B^2)t^2$

$d(t)^2 = 10000 - 40(3v_A + 4v_B)t + (v_A^2 + v_B^2)t^2$

Теперь используем данные из условия задачи для составления системы уравнений. Введем замены для упрощения: пусть $X = 3v_A + 4v_B$ и $Y = v_A^2 + v_B^2$. Тогда уравнение для расстояния примет вид:

$d(t)^2 = 10000 - 40Xt + Yt^2$

1. В момент времени $t_1 = 3$ с расстояние было $d_1 = 70$ м.

$70^2 = 10000 - 40X(3) + Y(3^2)$

$4900 = 10000 - 120X + 9Y$

$120X - 9Y = 10000 - 4900$

$120X - 9Y = 5100$

Разделим обе части на 3:

$40X - 3Y = 1700$ (Уравнение 1)

2. Еще через 2 с, то есть в момент времени $t_2 = 3 + 2 = 5$ с, расстояние стало $d_2 = 50$ м.

$50^2 = 10000 - 40X(5) + Y(5^2)$

$2500 = 10000 - 200X + 25Y$

$200X - 25Y = 10000 - 2500$

$200X - 25Y = 7500$

Разделим обе части на 25:

$8X - Y = 300$ (Уравнение 2)

Теперь решим систему двух линейных уравнений с переменными $X$ и $Y$. Из Уравнения 2 выразим $Y$:

$Y = 8X - 300$

Подставим это выражение в Уравнение 1:

$40X - 3(8X - 300) = 1700$

$40X - 24X + 900 = 1700$

$16X = 1700 - 900$

$16X = 800 \implies X = 50$

Теперь найдем $Y$:

$Y = 8(50) - 300 = 400 - 300 = 100$

Вернемся к исходным переменным $v_A$ и $v_B$:

$3v_A + 4v_B = X = 50$

$v_A^2 + v_B^2 = Y = 100$

Из первого уравнения выразим $v_B$ через $v_A$:

$4v_B = 50 - 3v_A \implies v_B = \frac{50 - 3v_A}{4}$

Подставим это во второе уравнение:

$v_A^2 + \left(\frac{50 - 3v_A}{4}\right)^2 = 100$

$v_A^2 + \frac{(50 - 3v_A)^2}{16} = 100$

$v_A^2 + \frac{2500 - 300v_A + 9v_A^2}{16} = 100$

Умножим обе части уравнения на 16:

$16v_A^2 + 2500 - 300v_A + 9v_A^2 = 1600$

$25v_A^2 - 300v_A + 900 = 0$

Разделим обе части на 25:

$v_A^2 - 12v_A + 36 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(v_A - 6)^2 = 0$

Отсюда находим скорость тела A:

$v_A = 6$ м/с.

Теперь найдем скорость тела B:

$v_B = \frac{50 - 3v_A}{4} = \frac{50 - 3 \cdot 6}{4} = \frac{50 - 18}{4} = \frac{32}{4} = 8$ м/с.

Ответ: Скорость тела A равна 6 м/с, скорость тела B равна 8 м/с.