Страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

6.18 a) $\begin{cases} x + y = -2, \\ x^2 + 2xy + y^2 = 1 - xy; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x - y = 3, \\ 4x^2 - 4xy + y^2 = 2x + 3y; \end{cases}$

В) $\begin{cases} x^2 - 6xy + 9y^2 = x - y, \\ x - 3y = -1; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} x + 2y = 2, \\ x^2 + 4y + 4y^2 = 2y + 4x. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = -2, \\ x^2 + 2xy + y^2 = 1 - xy; \end{cases}$

Заметим, что левая часть второго уравнения представляет собой формулу квадрата суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.

Перепишем систему с учетом этого преобразования:

$\begin{cases} x + y = -2, \\ (x+y)^2 = 1 - xy; \end{cases}$

Подставим значение $x+y$ из первого уравнения во второе:

$(-2)^2 = 1 - xy$

$4 = 1 - xy$

Выразим отсюда произведение $xy$:

$xy = 1 - 4$

$xy = -3$

Теперь мы имеем новую, более простую систему, равносильную исходной:

$\begin{cases} x + y = -2, \\ xy = -3. \end{cases}$

Согласно теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставим известные нам значения суммы и произведения:

$t^2 - (-2)t + (-3) = 0$

$t^2 + 2t - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его корни можно найти, например, разложением на множители:

$(t-1)(t+3) = 0$

Отсюда получаем корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Это означает, что переменные $x$ и $y$ принимают эти значения в двух возможных комбинациях.

Следовательно, решения системы — это пары чисел $(1, -3)$ и $(-3, 1)$.

Ответ: $(1, -3), (-3, 1)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x - y = 3, \\ 4x^2 - 4xy + y^2 = 2x + 3y; \end{cases}$

Левая часть второго уравнения является квадратом разности: $4x^2 - 4xy + y^2 = (2x-y)^2$.

Заменим левую часть второго уравнения на это выражение:

$\begin{cases} 2x - y = 3, \\ (2x-y)^2 = 2x + 3y; \end{cases}$

Подставим значение $2x-y$ из первого уравнения во второе:

$3^2 = 2x + 3y$

$9 = 2x + 3y$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 2x - y = 3, \\ 2x + 3y = 9. \end{cases}$

Решим эту систему методом вычитания. Вычтем первое уравнение из второго:

$(2x + 3y) - (2x - y) = 9 - 3$

$4y = 6$

$y = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Теперь подставим найденное значение $y$ в первое уравнение системы:

$2x - \frac{3}{2} = 3$

$2x = 3 + \frac{3}{2}$

$2x = \frac{6}{2} + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

$x = \frac{9}{4}$

Решение системы — пара чисел $(\frac{9}{4}, \frac{3}{2})$.

Ответ: $(\frac{9}{4}, \frac{3}{2})$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - 6xy + 9y^2 = x - y, \\ x - 3y = -1; \end{cases}$

Заметим, что левая часть первого уравнения является полным квадратом: $x^2 - 6xy + 9y^2 = (x - 3y)^2$.

Перепишем систему:

$\begin{cases} (x - 3y)^2 = x - y, \\ x - 3y = -1; \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$(-1)^2 = x - y$

$1 = x - y$

Получили систему двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x - y = 1, \\ x - 3y = -1. \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(x - y) - (x - 3y) = 1 - (-1)$

$2y = 2$

$y = 1$

Подставим значение $y=1$ в уравнение $x-y=1$:

$x - 1 = 1$

$x = 2$

Таким образом, решением системы является пара $(2, 1)$.

Ответ: $(2, 1)$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + 2y = 2, \\ x^2 + 4xy + 4y^2 = 2y + 4x. \end{cases}$

Левая часть второго уравнения является формулой квадрата суммы: $x^2 + 4xy + 4y^2 = (x+2y)^2$.

Запишем систему в новом виде:

$\begin{cases} x + 2y = 2, \\ (x+2y)^2 = 4x + 2y. \end{cases}$

Подставим значение $x+2y$ из первого уравнения во второе:

$2^2 = 4x + 2y$

$4 = 4x + 2y$

Разделим обе части полученного уравнения на 2:

$2 = 2x + y$

Теперь решаем систему линейных уравнений:

$\begin{cases} x + 2y = 2, \\ 2x + y = 2. \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 2 - 2x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x + 2(2 - 2x) = 2$

$x + 4 - 4x = 2$

$-3x = 2 - 4$

$-3x = -2$

$x = \frac{2}{3}$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 2 - 2x$:

$y = 2 - 2 \cdot \frac{2}{3} = 2 - \frac{4}{3} = \frac{6}{3} - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$

Решением системы является пара чисел $(\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$.

Ответ: $(\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$.

6.19 a) $\begin{cases} xy - 2x + 3y = 6, \\ 2xy - 3x + 5y = 11; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y^2 + 3x - y = 1, \\ y^2 + 6x - 2y = 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 + 3x - 4y = 20, \\ x^2 - 2x + y = -5; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + xy + y = 5, \\ xy - 2x - 2y + 4 = 0. \end{cases}$

а) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} xy - 2x + 3y = 6 \\ 2xy - 3x + 5y = 11 \end{cases} $$ Для решения этой системы методом алгебраического сложения, умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при члене $xy$ стали одинаковыми: $$ 2(xy - 2x + 3y) = 2 \cdot 6 \implies 2xy - 4x + 6y = 12 $$ Теперь вычтем второе уравнение системы из полученного нового уравнения: $$ (2xy - 4x + 6y) - (2xy - 3x + 5y) = 12 - 11 $$ $$ -x + y = 1 $$ Из этого линейного уравнения выразим $y$ через $x$: $$ y = x + 1 $$ Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение исходной системы: $$ x(x + 1) - 2x + 3(x + 1) = 6 $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ x^2 + x - 2x + 3x + 3 = 6 $$ $$ x^2 + 2x - 3 = 0 $$ Решим это квадратное уравнение. Его можно разложить на множители: $$ (x+3)(x-1) = 0 $$ Отсюда получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. Для каждого значения $x$ найдем соответствующее значение $y$ по формуле $y = x + 1$: Если $x_1 = -3$, то $y_1 = -3 + 1 = -2$. Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 1 + 1 = 2$. Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(-3, -2)$, $(1, 2)$.

б) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} y^2 + 3x - y = 1 \\ y^2 + 6x - 2y = 1 \end{cases} $$ Поскольку правые части обоих уравнений равны 1, мы можем приравнять их левые части: $$ y^2 + 3x - y = y^2 + 6x - 2y $$ Сократим $y^2$ в обеих частях уравнения: $$ 3x - y = 6x - 2y $$ Сгруппируем переменные $x$ и $y$: $$ 2y - y = 6x - 3x $$ $$ y = 3x $$ Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение исходной системы: $$ (3x)^2 + 3x - (3x) = 1 $$ $$ 9x^2 = 1 $$ $$ x^2 = \frac{1}{9} $$ Отсюда находим два значения для $x$: $x = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$, то есть $x_1 = \frac{1}{3}$ и $x_2 = -\frac{1}{3}$. Для каждого значения $x$ найдем соответствующее значение $y$ по формуле $y = 3x$: Если $x_1 = \frac{1}{3}$, то $y_1 = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$. Если $x_2 = -\frac{1}{3}$, то $y_2 = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -1$. Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(\frac{1}{3}, 1)$, $(-\frac{1}{3}, -1)$.

в) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + 3x - 4y = 20 \\ x^2 - 2x + y = -5 \end{cases} $$ Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить член $x^2$: $$ (x^2 + 3x - 4y) - (x^2 - 2x + y) = 20 - (-5) $$ $$ x^2 + 3x - 4y - x^2 + 2x - y = 25 $$ $$ 5x - 5y = 25 $$ Разделим обе части уравнения на 5: $$ x - y = 5 $$ Выразим $y$ через $x$: $$ y = x - 5 $$ Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы: $$ x^2 - 2x + (x - 5) = -5 $$ $$ x^2 - x - 5 = -5 $$ $$ x^2 - x = 0 $$ Вынесем $x$ за скобки: $$ x(x - 1) = 0 $$ Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Для каждого значения $x$ найдем соответствующее значение $y$ по формуле $y = x - 5$: Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 0 - 5 = -5$. Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 1 - 5 = -4$. Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(0, -5)$, $(1, -4)$.

г) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + xy + y = 5 \\ xy - 2x - 2y + 4 = 0 \end{cases} $$ Преобразуем каждое уравнение методом разложения на множители. Для первого уравнения: $x + xy + y = 5$. Прибавим 1 к обеим частям, чтобы можно было сгруппировать слагаемые: $$ xy + x + y + 1 = 5 + 1 $$ $$ x(y+1) + 1(y+1) = 6 $$ $$ (x+1)(y+1) = 6 $$ Для второго уравнения: $xy - 2x - 2y + 4 = 0$. Сгруппируем слагаемые: $$ x(y-2) - 2(y-2) = 0 $$ $$ (x-2)(y-2) = 0 $$ Теперь система имеет вид: $$ \begin{cases} (x+1)(y+1) = 6 \\ (x-2)(y-2) = 0 \end{cases} $$ Из второго уравнения следует, что либо $x-2=0$, либо $y-2=0$. Рассмотрим оба случая. Случай 1: $x - 2 = 0 \implies x = 2$. Подставим $x=2$ в первое преобразованное уравнение: $$ (2+1)(y+1) = 6 $$ $$ 3(y+1) = 6 $$ $$ y+1 = 2 $$ $$ y = 1 $$ Получаем первое решение: $(2, 1)$. Случай 2: $y - 2 = 0 \implies y = 2$. Подставим $y=2$ в первое преобразованное уравнение: $$ (x+1)(2+1) = 6 $$ $$ 3(x+1) = 6 $$ $$ x+1 = 2 $$ $$ x = 1 $$ Получаем второе решение: $(1, 2)$.

Ответ: $(2, 1)$, $(1, 2)$.

Решите систему уравнений:

6.20 а) $\begin{cases} (x - 2)(y - 3) = 1, \\ \frac{x - 2}{y - 3} = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x - 3)(y - 2) = 3, \\ \frac{y - 2}{x - 3} = 3; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{x + 1}{y - 3} = 1, \\ (x + 1)(y - 3) = 4; \end{cases}$

г) $\begin{cases} (x + 3)(y - 1) = 8, \\ \frac{x + 3}{y - 1} = 2. \end{cases}$

а)

Решим систему уравнений: $ \begin{cases} (x-2)(y-3) = 1 \\ \frac{x-2}{y-3} = 1 \end{cases} $

Введем новые переменные. Пусть $a = x-2$ и $b = y-3$. Тогда система примет вид: $ \begin{cases} ab = 1 \\ \frac{a}{b} = 1 \end{cases} $

Из второго уравнения следует, что $a = b$ (при условии $b \neq 0$). Подставим это в первое уравнение: $ b \cdot b = 1 \implies b^2 = 1 $

Отсюда получаем два возможных значения для $b$:
1) $b = 1$. Так как $a=b$, то $a = 1$.
2) $b = -1$. Так как $a=b$, то $a = -1$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:
1) $x-2 = 1 \implies x = 3$; $y-3 = 1 \implies y = 4$. Получаем решение $(3; 4)$.
2) $x-2 = -1 \implies x = 1$; $y-3 = -1 \implies y = 2$. Получаем решение $(1; 2)$.

Ответ: $(3; 4), (1; 2)$.

б)

Решим систему уравнений: $ \begin{cases} (x-3)(y-2) = 3 \\ \frac{y-2}{x-3} = 3 \end{cases} $

Введем новые переменные. Пусть $a = x-3$ и $b = y-2$. Тогда система примет вид: $ \begin{cases} ab = 3 \\ \frac{b}{a} = 3 \end{cases} $

Из второго уравнения следует, что $b = 3a$ (при условии $a \neq 0$). Подставим это в первое уравнение: $ a \cdot (3a) = 3 \implies 3a^2 = 3 \implies a^2 = 1 $

Отсюда получаем два возможных значения для $a$:
1) $a = 1$. Тогда $b = 3a = 3(1) = 3$.
2) $a = -1$. Тогда $b = 3a = 3(-1) = -3$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:
1) $x-3 = 1 \implies x = 4$; $y-2 = 3 \implies y = 5$. Получаем решение $(4; 5)$.
2) $x-3 = -1 \implies x = 2$; $y-2 = -3 \implies y = -1$. Получаем решение $(2; -1)$.

Ответ: $(4; 5), (2; -1)$.

в)

Решим систему уравнений: $ \begin{cases} \frac{x+1}{y-3} = 1 \\ (x+1)(y-3) = 4 \end{cases} $

Введем новые переменные. Пусть $a = x+1$ и $b = y-3$. Тогда система примет вид: $ \begin{cases} \frac{a}{b} = 1 \\ ab = 4 \end{cases} $

Из первого уравнения следует, что $a = b$ (при условии $b \neq 0$). Подставим это во второе уравнение: $ b \cdot b = 4 \implies b^2 = 4 $

Отсюда получаем два возможных значения для $b$:
1) $b = 2$. Так как $a=b$, то $a = 2$.
2) $b = -2$. Так как $a=b$, то $a = -2$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:
1) $x+1 = 2 \implies x = 1$; $y-3 = 2 \implies y = 5$. Получаем решение $(1; 5)$.
2) $x+1 = -2 \implies x = -3$; $y-3 = -2 \implies y = 1$. Получаем решение $(-3; 1)$.

Ответ: $(1; 5), (-3; 1)$.

г)

Решим систему уравнений: $ \begin{cases} (x+3)(y-1) = 8 \\ \frac{x+3}{y-1} = 2 \end{cases} $

Введем новые переменные. Пусть $a = x+3$ и $b = y-1$. Тогда система примет вид: $ \begin{cases} ab = 8 \\ \frac{a}{b} = 2 \end{cases} $

Из второго уравнения следует, что $a = 2b$ (при условии $b \neq 0$). Подставим это в первое уравнение: $ (2b) \cdot b = 8 \implies 2b^2 = 8 \implies b^2 = 4 $

Отсюда получаем два возможных значения для $b$:
1) $b = 2$. Тогда $a = 2b = 2(2) = 4$.
2) $b = -2$. Тогда $a = 2b = 2(-2) = -4$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:
1) $x+3 = 4 \implies x = 1$; $y-1 = 2 \implies y = 3$. Получаем решение $(1; 3)$.
2) $x+3 = -4 \implies x = -7$; $y-1 = -2 \implies y = -1$. Получаем решение $(-7; -1)$.

Ответ: $(1; 3), (-7; -1)$.

6.21 a) $\begin{cases} (x + 2y)^2 + (y - 2x)^2 = 90, \\ (x + 2y) + (y - 2x) = 12; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y + \frac{x}{y} = 15, \\ \frac{(x + y)x}{y} = 56; \end{cases}$

В) $\begin{cases} x + y + \frac{x}{y} = 9, \\ \frac{(x + y)x}{y} = 20; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2, \\ \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} = 16. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} (x + 2y)^2 + (y - 2x)^2 = 90, \\ (x + 2y) + (y - 2x) = 12; \end{cases} $

Для решения этой системы введем новые переменные. Пусть $u = x + 2y$ и $v = y - 2x$. Тогда система примет вид:

$ \begin{cases} u^2 + v^2 = 90, \\ u + v = 12; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $v$: $v = 12 - u$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$u^2 + (12 - u)^2 = 90$

$u^2 + 144 - 24u + u^2 = 90$

$2u^2 - 24u + 54 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$u^2 - 12u + 27 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $u_1$ и $u_2$ удовлетворяют условиям $u_1 + u_2 = 12$ и $u_1 \cdot u_2 = 27$. Легко подобрать корни: $u_1 = 3$ и $u_2 = 9$.

Теперь найдем соответствующие значения $v$ для каждого корня $u$:

1. Если $u_1 = 3$, то $v_1 = 12 - 3 = 9$.

2. Если $u_2 = 9$, то $v_2 = 12 - 9 = 3$.

У нас есть две пары значений $(u, v)$: $(3, 9)$ и $(9, 3)$. Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$ и решим две системы уравнений.

Случай 1: $u = 3, v = 9$.

$ \begin{cases} x + 2y = 3, \\ y - 2x = 9; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y = 9 + 2x$ и подставим в первое:

$x + 2(9 + 2x) = 3$

$x + 18 + 4x = 3$

$5x = -15 \implies x = -3$

Тогда $y = 9 + 2(-3) = 9 - 6 = 3$.

Первое решение: $(-3, 3)$.

Случай 2: $u = 9, v = 3$.

$ \begin{cases} x + 2y = 9, \\ y - 2x = 3; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y = 3 + 2x$ и подставим в первое:

$x + 2(3 + 2x) = 9$

$x + 6 + 4x = 9$

$5x = 3 \implies x = \frac{3}{5}$

Тогда $y = 3 + 2(\frac{3}{5}) = 3 + \frac{6}{5} = \frac{15+6}{5} = \frac{21}{5}$.

Второе решение: $(\frac{3}{5}, \frac{21}{5})$.

Ответ: $(-3, 3), (\frac{3}{5}, \frac{21}{5})$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y + \frac{x}{y} = 15, \\ \frac{(x + y)x}{y} = 56; \end{cases} $

Область допустимых значений: $y \neq 0$.
Преобразуем второе уравнение: $(x+y) \cdot \frac{x}{y} = 56$.
Введем новые переменные: $u = x+y$ и $v = \frac{x}{y}$. Система примет вид:

$ \begin{cases} u + v = 15, \\ u \cdot v = 56; \end{cases} $

Согласно теореме, обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 15t + 56 = 0$.
Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1$.
$t_1 = \frac{15 - 1}{2} = 7$, $t_2 = \frac{15 + 1}{2} = 8$.
Следовательно, у нас есть две возможные пары $(u, v)$: $(7, 8)$ и $(8, 7)$.

Случай 1: $u = 7, v = 8$.

$ \begin{cases} x + y = 7, \\ \frac{x}{y} = 8; \end{cases} $

Из второго уравнения $x = 8y$. Подставляем в первое:

$8y + y = 7 \implies 9y = 7 \implies y = \frac{7}{9}$.

Тогда $x = 8 \cdot \frac{7}{9} = \frac{56}{9}$.

Первое решение: $(\frac{56}{9}, \frac{7}{9})$.

Случай 2: $u = 8, v = 7$.

$ \begin{cases} x + y = 8, \\ \frac{x}{y} = 7; \end{cases} $

Из второго уравнения $x = 7y$. Подставляем в первое:

$7y + y = 8 \implies 8y = 8 \implies y = 1$.

Тогда $x = 7 \cdot 1 = 7$.

Второе решение: $(7, 1)$.

Ответ: $(\frac{56}{9}, \frac{7}{9}), (7, 1)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y + \frac{x}{y} = 9, \\ \frac{(x + y)x}{y} = 20; \end{cases} $

Область допустимых значений: $y \neq 0$.
Как и в предыдущем задании, введем замену: $u = x+y$ и $v = \frac{x}{y}$. Система примет вид:

$ \begin{cases} u + v = 9, \\ u \cdot v = 20; \end{cases} $

$u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 9t + 20 = 0$.
По теореме Виета подбираем корни: $t_1 = 4$, $t_2 = 5$.
Следовательно, у нас есть две возможные пары $(u, v)$: $(4, 5)$ и $(5, 4)$.

Случай 1: $u = 4, v = 5$.

$ \begin{cases} x + y = 4, \\ \frac{x}{y} = 5; \end{cases} $

Из второго уравнения $x = 5y$. Подставляем в первое:

$5y + y = 4 \implies 6y = 4 \implies y = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Тогда $x = 5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$.

Первое решение: $(\frac{10}{3}, \frac{2}{3})$.

Случай 2: $u = 5, v = 4$.

$ \begin{cases} x + y = 5, \\ \frac{x}{y} = 4; \end{cases} $

Из второго уравнения $x = 4y$. Подставляем в первое:

$4y + y = 5 \implies 5y = 5 \implies y = 1$.

Тогда $x = 4 \cdot 1 = 4$.

Второе решение: $(4, 1)$.

Ответ: $(\frac{10}{3}, \frac{2}{3}), (4, 1)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2, \\ \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} = 16; \end{cases} $

Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.
Второе уравнение можно разложить по формуле разности квадратов: $\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} = (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$.
Подставим в это уравнение значение $(\frac{1}{x} - \frac{1}{y})$ из первого уравнения системы:

$16 = 2 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$

Отсюда находим, что $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{16}{2} = 8$.

Теперь мы имеем новую, более простую систему:

$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 8; \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) + (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 2 + 8$

$\frac{2}{x} = 10 \implies \frac{1}{x} = 5 \implies x = \frac{1}{5}$.

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) - (\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) = 8 - 2$

$\frac{2}{y} = 6 \implies \frac{1}{y} = 3 \implies y = \frac{1}{3}$.

Таким образом, решение системы: $(\frac{1}{5}, \frac{1}{3})$.

Ответ: $(\frac{1}{5}, \frac{1}{3})$.

6.22 a) $\begin{cases} (x + y)^2 + 2x = 35 - 2y, \\ (x - y)^2 - 2y = 3 - 2x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 12(x + y)^2 + x = 2,5 - y, \\ 6(x - y)^2 + x = 0,125 + y. \end{cases}$

а)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} (x + y)^2 + 2x = 35 - 2y \\ (x - y)^2 - 2y = 3 - 2x \end{cases} $

Преобразуем каждое уравнение, перенеся все члены с переменными в левую часть.

Первое уравнение:

$ (x + y)^2 + 2x + 2y = 35 $

$ (x + y)^2 + 2(x + y) = 35 $

$ (x + y)^2 + 2(x + y) - 35 = 0 $

Второе уравнение:

$ (x - y)^2 + 2x - 2y = 3 $

$ (x - y)^2 + 2(x - y) = 3 $

$ (x - y)^2 + 2(x - y) - 3 = 0 $

Введем новые переменные. Пусть $ u = x + y $ и $ v = x - y $. Тогда система примет вид:

$ \begin{cases} u^2 + 2u - 35 = 0 \\ v^2 + 2v - 3 = 0 \end{cases} $

Решим первое квадратное уравнение относительно $ u $. По теореме Виета, корни $ u_1 $ и $ u_2 $ удовлетворяют условиям $ u_1 + u_2 = -2 $ и $ u_1 \cdot u_2 = -35 $. Подбором находим корни $ u_1 = 5 $ и $ u_2 = -7 $.

Решим второе квадратное уравнение относительно $ v $. По теореме Виета, корни $ v_1 $ и $ v_2 $ удовлетворяют условиям $ v_1 + v_2 = -2 $ и $ v_1 \cdot v_2 = -3 $. Подбором находим корни $ v_1 = 1 $ и $ v_2 = -3 $.

Теперь задача сводится к решению четырех систем линейных уравнений:

1) $ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $ 2x = 6 $, откуда $ x = 3 $. Подставив $ x = 3 $ в первое уравнение, получим $ 3 + y = 5 $, откуда $ y = 2 $. Решение: $ (3; 2) $.

2) $ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = -3 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $ 2x = 2 $, откуда $ x = 1 $. Подставив $ x = 1 $ в первое уравнение, получим $ 1 + y = 5 $, откуда $ y = 4 $. Решение: $ (1; 4) $.

3) $ \begin{cases} x + y = -7 \\ x - y = 1 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $ 2x = -6 $, откуда $ x = -3 $. Подставив $ x = -3 $ в первое уравнение, получим $ -3 + y = -7 $, откуда $ y = -4 $. Решение: $ (-3; -4) $.

4) $ \begin{cases} x + y = -7 \\ x - y = -3 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $ 2x = -10 $, откуда $ x = -5 $. Подставив $ x = -5 $ в первое уравнение, получим $ -5 + y = -7 $, откуда $ y = -2 $. Решение: $ (-5; -2) $.

Ответ: $ (3; 2), (1; 4), (-3; -4), (-5; -2) $.

б)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} 12(x + y)^2 + x = 2,5 - y \\ 6(x - y)^2 + x = 0,125 + y \end{cases} $

Преобразуем каждое уравнение, сгруппировав выражения с $ x $ и $ y $.

Первое уравнение:

$ 12(x + y)^2 + x + y = 2,5 $

$ 12(x + y)^2 + (x + y) - 2,5 = 0 $

Второе уравнение:

$ 6(x - y)^2 + x - y = 0,125 $

$ 6(x - y)^2 + (x - y) - 0,125 = 0 $

Введем новые переменные. Пусть $ u = x + y $ и $ v = x - y $. Тогда система примет вид:

$ \begin{cases} 12u^2 + u - 2,5 = 0 \\ 6v^2 + v - 0,125 = 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение относительно $ u $. Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби: $ 24u^2 + 2u - 5 = 0 $.

Найдем дискриминант: $ D = 2^2 - 4 \cdot 24 \cdot (-5) = 4 + 480 = 484 = 22^2 $.

Корни: $ u = \frac{-2 \pm 22}{2 \cdot 24} = \frac{-2 \pm 22}{48} $.

$ u_1 = \frac{20}{48} = \frac{5}{12} $, $ u_2 = \frac{-24}{48} = -\frac{1}{2} $.

Решим второе уравнение относительно $ v $. Заменим $ 0,125 $ на $ \frac{1}{8} $ и умножим на 8: $ 48v^2 + 8v - 1 = 0 $.

Найдем дискриминант: $ D = 8^2 - 4 \cdot 48 \cdot (-1) = 64 + 192 = 256 = 16^2 $.

Корни: $ v = \frac{-8 \pm 16}{2 \cdot 48} = \frac{-8 \pm 16}{96} $.

$ v_1 = \frac{8}{96} = \frac{1}{12} $, $ v_2 = \frac{-24}{96} = -\frac{1}{4} $.

Теперь решим четыре системы линейных уравнений:

1) $ \begin{cases} x + y = \frac{5}{12} \\ x - y = \frac{1}{12} \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $ 2x = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $, откуда $ x = \frac{1}{4} $. Тогда $ y = \frac{5}{12} - x = \frac{5}{12} - \frac{3}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} $. Решение: $ (\frac{1}{4}; \frac{1}{6}) $.

2) $ \begin{cases} x + y = \frac{5}{12} \\ x - y = -\frac{1}{4} \end{cases} $. Сложив уравнения ($-\frac{1}{4} = -\frac{3}{12}$), получим $ 2x = \frac{5}{12} - \frac{3}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} $, откуда $ x = \frac{1}{12} $. Тогда $ y = \frac{5}{12} - x = \frac{5}{12} - \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $. Решение: $ (\frac{1}{12}; \frac{1}{3}) $.

3) $ \begin{cases} x + y = -\frac{1}{2} \\ x - y = \frac{1}{12} \end{cases} $. Сложив уравнения ($-\frac{1}{2} = -\frac{6}{12}$), получим $ 2x = -\frac{6}{12} + \frac{1}{12} = -\frac{5}{12} $, откуда $ x = -\frac{5}{24} $. Тогда $ y = -\frac{1}{2} - x = -\frac{12}{24} - (-\frac{5}{24}) = -\frac{7}{24} $. Решение: $ (-\frac{5}{24}; -\frac{7}{24}) $.

4) $ \begin{cases} x + y = -\frac{1}{2} \\ x - y = -\frac{1}{4} \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $ 2x = -\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = -\frac{3}{4} $, откуда $ x = -\frac{3}{8} $. Тогда $ y = -\frac{1}{2} - x = -\frac{4}{8} - (-\frac{3}{8}) = -\frac{1}{8} $. Решение: $ (-\frac{3}{8}; -\frac{1}{8}) $.

Ответ: $ (\frac{1}{4}; \frac{1}{6}), (\frac{1}{12}; \frac{1}{3}), (-\frac{5}{24}; -\frac{7}{24}), (-\frac{3}{8}; -\frac{1}{8}) $.